无穷小微积分是植根于现代数学基础上的一朵鲜花,而不是鬼话毒草
无穷小微积分是植根于现代数学基础上的一朵鲜花，而不是鬼话、毒草
无穷小微积分是植根于现代数学基础上的一朵鲜花，而不是鬼话、毒草
如果不懂得现代数学发展史，我们就是数学文明的文盲。
数学悖论的产生导致数学的第三次理论危机。也就是说，悖论（ Paradox ）会导致理论系统的逻辑矛盾，产生理论系统的不一致性。
1897
年，福尔蒂揭示了 中的第一个悖论。两年后，康托发现了很相似的悖论。 1902 年， 又发现了一个悖论，它除了涉及 本身外不涉及别的概念。 曾被以多种形式通俗化。其中最著名的是罗素于 1919 年给出的，它涉及到某村理发师的困境。理发师宣布了这样一条原则：他给所有不给自己刮脸的人刮脸，并且，只给村里这样的人刮脸。当人们试图回答下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质： " 理发师是否自己给自己刮脸？ " 如果他不给自己刮脸，那么他按原则就该为自己刮脸；如果他给自己刮脸，那么他就不符合他的原则。
罗素悖论的精确表述：
如果存在一个集合 A={x | x
∉
x}
，那么 A∈A 是否成立？如果它成立，那么 A∈A ，不满足 A 的特征性质。如果它不成立， A 就满足了特征性质。
罗素悖论使整个数学大厦动摇了。无怪乎 在收到罗素的信之后，在他刚要出版的《算术的基本法则》第 2 卷末尾写道： " 一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了，当本书等待印出的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地 " 。于是终结了近 12 年的刻苦钻研。
承认无穷集合，承认无穷基数，就好像一切灾难都出来了，这就是第三次数学危机的实质。尽管悖论可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失。现代 的大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。所以，第三次危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续着。
第三次数学危机产生于十九世纪末和二十世纪初，当时正是数学空前兴旺发达的时期。首先是逻辑的 ，促使了 这门学科诞生。
十九世纪七十年代 创立的集合论是 的基础，也是产生危机的直接来源。十九世纪末，戴德金及皮亚诺对 及 进行 化，推动了公理化运动。而公理化运动的最大成就则是 在 1899 年对于初等几何的公理化。
为了讲清楚第三次数学危机的来龙去脉，我们首先要说明什么是数学危机。一般来讲，危机是一种激化的、非解决不可的矛盾。从哲学上来看，矛盾是无处不在的、不可避免的，即便以确定无疑著称的数学也不例外。
数学中有大大小小的许多矛盾，比如正与负、加法与减法、微分与积分、有理数与 、 与 等等。但是整个数学发展过程中还有许多深刻的矛盾，例如有穷与无穷，连续与离散，乃至存在与构造，逻辑与直观，具体对象与抽象对象，概念与计算等等。在整个数学发展的历史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。而在矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就产生数学危机。
矛盾的消除，危机的解决，往往给数学带来新的内容，新的进展，甚至引起革命性的变革，这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史动力这一基本原理。整个数学的发展史就是矛盾斗争的历史，斗争的结果就是数学领域的发展。
人类最早认识的是自然数。从引进零及 就经历过斗争：要么引进这些数，要么大量的数的减法就行不通；同样，引进分数使 有了 —— ，否则许多实际问题也不能解决。但是接着又出现了这样的问题，是否所有的量都能用有理数来表示 ? 于是发现 就导致了 ，而危机的解决也就促使逻辑的发展和几何学的体系化。
的解导致了 的出现，虚数从一开始就被认为是 “ 不实的 ” 。可是这种不实的数却能解决 所不能解决的问题，从而为自己争得存在的权利。
几何学的发展从 的一统天下发展到各种非欧几何学也是如此。在十九世纪发现了许多用传统方法不能解决的问题，如五次及五次以上代数方程不能通过加、减、乘、除、 、开方求出根来；古希腊几何三大问题，即三等分 、倍 、 不能通过 、直尺作图来解决等等。
否定的结果表明了传统方法的局限性，也反映了人类认识的深入。这种发现给这些学科带来极大的冲击，几乎完全改变了它们的方向。比如说， 从此以后向抽象代数学方面发展，而求解方程的根变成了分析及计算数学的课题。在第三次数学危机中，这种情况也多次出现，尤其是包含整数算术在内的 的不完全性、许多问题的不可判定性都大大提高了人们的认识，也促进了 的大发展。
这种矛盾、危机引起的发展，改变面貌，甚至引起革命，在数学发展历史上是屡见不鲜的。 是由 的矛盾引起的，它反映了数学内部的有限与无穷的矛盾。数学中也一直贯穿着计算方法、分析方法在应用与概念上清楚及逻辑上严格的矛盾。在这方面，比较注意实用的数学家盲目应用。而比较注意严密的数学家及哲学家则提出批评。只有这两方面取得协调一致后，矛盾才能解决。后来算符演算及 δ 函数也重复了这个过程，开始是形式演算、任意应用，直到施瓦尔兹才奠定 的严整系统。
对于第三次数学危机，有人认为只是数学基础的危机，与数学无关。这种看法是片面的。诚然，问题涉及数理逻辑和集合论，但它一开始就牵涉到无穷集合，而现代数学如果脱离无穷集合就可以说寸步难行。因为如果只考虑有限集合或至多是可数的集合，那绝大部分数学将不复存在。而且即便这些有限数学的内容，也有许多问题要涉及无穷的方法，比如解决数论中的许多问题都要用解析方法。由此看来，第三次数学危机是一次深刻的数学危机。
数学家们通过将集合的构造公理化来排除了这样的集合的存在性。
例如，在策梅洛（ Zermelo ）和弗伦克尔（ Fraenkel ）等提出的 ZF 公理系统（也称 ZFC 公理系统）中，严格规定了一个集合存在的条件（简单地说，存在一个空集【空集公理】；每个集合存在幂集【幂集公理】；每个集合里所有的集合取并也形成集合【并集公理】；每个集合的满足某条件的元素构成子集【子集公理】；一个 ” 定义域 “ 为 A 的 ” 函数 “ 存在 “ 值域 ” 【替换公理】等），这样无法定义出悖论中的集合。
总而言之，在集合论公理化基础上，第三次数学危机完美解决。
实际情况是，无穷小微积分在上述
磐
若坚石的公理化集合论的沃土上茁壮成长出的一朵鲜花，而不是鬼话、邪说、毒草。
袁萌
10
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