【电机控制理论】三相BLDC/PMSM电机的数学模型及其双环数字控制

目录

1.电机控制

电机除了转，就只能转了，但它简单的现象背后却是一个典型的 非线性、强耦合、多变量、周期性 的机电能量转换的复杂系统。

**电机控制无非就是达到三个控制目的：

①转矩控制

②速度控制

③位置控制**

其中转矩控制是核心，因为矢量控制的核心目标就是为了让电机以稳定的转矩旋转，在这个基础上再实现速度环、位置环。举例子他们三环内外放置时的关系：在电流-速度环中，不同的电流电机内部就产生不同情况的磁场，面对不同负载，电流大，磁场强，转速快。在电流-速度-位置环中，位置是速度在时间上的积分，我们希望以稳定的速度走一段位置，那么对应速度，也对应着某一种电流情况。显然，电流环是最内环(重要)的

以三相无刷电机举例，它的三相对称正弦电流可以这样表示： **Ia=Im * cos(ωt+φ)

Ib=Im * cos(ωt+φ-120°)

Ic=Im * cos(ωt+φ+120°)**

1.1 方法论

时域上直接建立的电机转矩动态数学模型，是一组含有时变系数的非线性微分方程，难以直接分析和求解，这方面随便拿一本电机类的书籍都有介绍。为了便于控制，需要简化数学模型，简化的基本方法是坐标变换。

所谓坐标变换就是将方程中的一组变量用一组新的变量来代替，或者说用新的坐标系去替换原来的坐标系，以便使分析、计算得以简化。若新、旧变量之间为线性关系，则变换为线性变换，电机分析中常用到的坐标变换都是线性变换。

目的很明确， 强耦合系统解耦，非线性系统线性化处理。

我们希望三相电机像直流电机那样简单易控。

**克拉克Clarke变换帮我们将三相电机等效成两相电机；

帕克Park变换帮我们将电流解耦，使我们控制交流电流像控制直流那样简便。**

2.克拉克Clarke变换(3s/2s)

2.1 变换思想

克拉克变换将三相系统（在 abc 坐标系中）的时域分量转换为正交静止坐标系 (αβ) 中的两个分量。我们要把三相电机等效成两相电机，方便后续分析。

设 Is 为三相对称正弦电流的合成矢量。

Is

Ia + Ib + Ic

Clarke变换旨在利用向量分解，将三相坐标合成为两相坐标

根据投影，我们得到： **i_alpha=Ia-Ib * cos(π/3)-Ic * cos(π/3)

i_beta=Ib * cos(π/6)-Ic * cos(π/6)**

用矩阵可以表示:

2.1 原始变换(k=1)

根据三相电机简化模型，由电路基尔霍夫定律：

Ia+Ib+Ic=0

展开后易得： **i_alpha=3/2 * Ia

i_beta=√3/2 * Ia + √3Ib**

**由动态图我们可以看到，通过克拉克变换，我们成功地将三相电机等效为了两相电机，这就是克拉克变换的意义。

通过类比，试想：部分步进电机就是两相电机，无需克拉克变换，直接使用两相的数据代入帕克变换中直接解耦，是否也能做FOC控制？**

2.2 幅值不变原则的变换(k=2/3)

由 Is 易知：

Is

Ia + Ib + Ic

i_alpha + i_beta

故i_alpha+i_beta的模值依然是3/2 * Im

若我们希望合成前后的模值不变，即依然是Im,那我们就在前面乘以一个系数k，对其缩减，显而易见按，3/2k=1

那么 k1=2/3

代入易得： **i_alpha= Ia

i_beta=1/√3 * Ia + 2/√3Ib**

为什么要幅值不变？

电压和电流解耦用的克拉克变换和帕克变换方法必须是同一套， 不能 电流用这套克拉克变换和帕克变换，而电压用另一种。

仅仅是电流的话，电机正常运行时幅值上没有讲究；但电压就不一样，受到直流母线电压Vdc限制。这样做：

是为了后续SVPWM调制时，确保输出电压在正六边形内接圆里(半径为Um,类比上述推导中的电流Im)，使电压输出波形最大不失真。

2.3 功率不变原则的变换(k=√(2/3))

<1>变换前

P0=Um * Im * 3（三相）

<2>变换后：

U=3/2 * k * Um

I=3/2 * k * Im

P=UI * 2（两相）

令P0=P:

解有等功率变换系数 k2=√(2/3)

代入易得： **i_alpha= √6/2 * Ia

i_beta=√2/2 * Ia + √2Ib**

显然等功率变换时K比幅值不变变换情况下更小了，所以电压必定会被限制在电压圆内，这时等功率法下整定的K合理。

2.4 它的反变换

通过2.2或2.3的结论可逆推得到。

3.帕克Park变换（2s/2r）

3.1 变换思想

即使我们已经通过克拉克变化将三相变成了两相，但是从i_alpha和i_beta的展开式中，依旧含有时间t，电流依旧由时间决定，分析起来还是很复杂。

帕克变换中，在克拉克变换的基础上，试图将表达式中的时间t消去，就是帕克变换的核心思想和目的。

如图，旋转坐标轴以ω的角速度旋转。

3.2.变换公式

根据投影分析，我们得到： **i_d=i_alpha * cosθ+ i_beta * sinθ

i_q=-i_alpha * sinθ+i_beta * cosθ**

3.3 变换推导

这里使用等幅值原则的结论进行推导。

我们尝试进一步简化：

从结论知，只要φ不变，id与iq在时域上，必是直线。

因为iq垂直与定子磁场，所以力矩只由iq决定；

而id与定子磁场平行，不作用于力矩控制。

3.4 它的反变换

**v_alpha =v_d * cosθ-v_q * sinθ

v_beta=v_d * sinθ+v_q * cosθ**

4.坐标变换结论

4.1 两种变换的总结

4.2 机械角度与电角度

设p是电机极数

则P=0.5p

P是电机的极对数

**电角度=P * 机械角度

我们代入公式中计算的，用的都是电角度**

我们Ia，Ib与Ic中的ωt+φ，ωt+φ-120°，ωt+φ+120°指的都是电角度。

4.3 ωt，θ，φ，和P的关系

φf或Ke 都表示是磁链系数，单位为V·s/rad,指的是单位rad/s机械转速下能产生的电机反电动势(正弦波或梯形波)最大值。

P：电机的极对数，可以帮我们求电角度

(若无特殊说明，ω都指电角度速ωe,ωm指机械角速度)

ωt，θ， φ 三者都是电角度

ωt=θ，是两相旋转坐标轴与两相静止坐标轴的夹角(电角度θe)。

φ 就有意思了，它是定子磁场和转子磁场的角度。

当定子磁场和转子磁场的角度为90°，即φ=90°时，转矩最大

5.坐标变换的变种

对于三相静止坐标系(3s)

我们分析时，要转换成两相静止坐标系(2s),也就是Clarke变换，但是Clarke变换对于不同开发厂商，它所使用的变换形式不一样。

5.1 Clarke变换

<1>α水平向左为正方向，β垂直向上为正方向(我们所用的)：

<2>α水平向右为正方向，β垂直向下为正方向(ST所用的)：

可以看出，和我们数学上的推理相符，Iβ’在<1>的Iβ基础上取反了。

<3>总结

我们习惯于使用的是以下形式：

有一些开发厂商使用的是以下形式，比如 ST电机库 :

我们当然可以选取其他的方向作为正方向进行变换，这个交给读者自行去尝试了！

5.2 相应的Park变换

无论我们在Clarke变换中怎么样选取两个轴的正方向，我们的Park变换都要与之对应。

<1>θe=0时，选取为d轴与A轴对齐的时候：

<2>θe=0时，选取为q轴与A轴对齐的时候：

5.3 Summary

我们可以由ST的资料对比分析以下：

对于坐标变换的理解，可以参考文章：

6.双环控制

6.1 表贴式PMSM电机的D/Q轴数学模型

同步旋转坐标系下：

两相等效坐标系下：

6.2 SPMSM的主流转矩控制方法(id=0法)

(此模型仅适用于表贴式PMSM电机)

(无刷直流电机BLDC一般是表贴式)

当id为0时，电流全部用于iq来进行力矩控制，发挥其最大转矩。

也就是说，定子磁场与转子磁场相差90°的时候，转子以最大力矩旋转！

为什么力矩控制时，大多数时id=0矢量控制法来做转矩控制？

6.1中已经表明表贴式PMSM电机转矩：

id并没有对转矩做出贡献。

这时候转矩方程是比较简单的，所以我们使id控制为0；

其中1.5这个系数与克拉克变换类型有关，P是极对数，φf是磁链系数，单位是V·s/rad，式子中可以看到，在id=0情况下，转矩是和iq直接相关的，转矩控制的本质就是电流控制。

注意：在硬件设计时，电流追踪检测的部分，一定不能设计出错。

6.3 双环的参数整定(精准理论法)

因为PI控制器是线性控制器，从图可以看出，这样做，就是为了让PI控制器专心去“应付”控制对象的线性部分。

6.4 Id与Iq的简单前馈解耦器

虽然我们通过帕克变换成功把励磁电流和转矩电流电流分离出来，但Iq会影响Id,Id也会影响Iq，他们还是有耦合的现象，并不像我们理想中那样他们只要单独控制就可以简单完事的。

所以在进行PI控制时，我们要根据它们的耦合关系做修改，当然，这种耦合是比较简单的，没有微积分运算：

具体的耦合关系：

R：定子电阻,单位为Ω

Ls：定子电感，单位为H

D:微分算子

ω：电气频率ωe，也就是你的电角速度，单位为rad/s

Ke：同φf,反电动势常数，单位为V·s/rad

所以在我们输出Vd或者Vq时，我们要在控制芯片加入这种耦合关系：

简单的前馈解耦器：

SPMSM中Ls=Ld=Lq

Tips：

一般来说，对于小功率的PMSM/BLDC电机的参数都很小，使得耦合项都很小，在这种情况下，不加入简单的解耦器，仅仅使用线性PI控制器进行控制，也能做到很好的效果，因为这时候PI控制器出来的电压分量可以很好地跟踪Ud/Uq.

但是对于大功率PMSM/BLDC电机，参数都比较大的时候，耦合项不可忽略，而PI控制器是线性的，这时候PI控制器出来的电压分量不能很好地跟踪Ud/Uq，这时候加入简单的解耦器是必要的，尽量让PI控制器去控制回路的线性部分，减少跟踪非线性部分的负担。

当然现实是不理想的，在电机的运行过程中，工况的变化，会使得电机参数有界浮动，而本文的方法都假设参数无论怎样都是不变的，出于笔者水平有限，这种现象的应对不做讲述。尽管如此，本文的一些结论旨在给读者提供一些有用的信息去了解电机控制。如果文章有一些错误或纰漏，还请指正。

68747470733a2f2f626c6f67:2e6373646e2e6e65742f63736f6c313630373430383933302f:61727469636c652f64657461696c732f313232363335353030