离散数学-归纳与递归
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离散数学-⑤-归纳与递归
归纳与递归
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数学归纳法
- 数学归纳法原理：为证明对所有正整数n，P(n)为真，其中P(n)是一个命题函数，需要完成两个步骤
基础步骤：证明命题P(1)为真
归纳步骤：证明对每个正整数k来说，蕴含式
P ( k ) → P ( k + 1 ) P(k)\to P(k+1)
P
(
k
)
→
P
(
k
1
)
为真
- 数学归纳法优点：能用于证明已经构造好的猜想是正确的
- 数学归纳法缺点：不能用于发现一个新定理
- 数学归纳法证明模板：
- 将需要证明的命题表示为“对所有的n≥b，P(n)”的形式，b为一个固定的整数
- 写下“基础步骤”，证明P(b)为真，注意选择正确的b，就能完全证明的第一步
- 写下“归纳步骤”
- 明确列出归纳假设，形式是“假设P(k)为真，对于任意固定的整数k≥b”
- 列出在归纳假设的前提下需要证明的命题，即写成P(k+1)的含义
- 采用P(k)证明P(k+1)，确保对于k，k≥b，证明是有效的，特别注意k值较小的时候，包括k=b
- 在归纳不知明确结论，如写成“这样完成了归纳步骤”
- 在基础步骤和归纳步骤之后，明确结论，即依据归纳法，对所有的n≥b，P(n)为真
强归纳法与良序性
- 强归纳法（完全归纳法）原理：要证明对所有的正整数n而言，都有P(n)为真，其中P(n)为命题函数，需要完成两个步骤
基础步骤：证明P(1)为真
归纳步骤：要证明对所有正整数k来说，蕴含式
[ P ( 1 ) ⋀ P ( 2 ) ⋀ . . . ⋀ P ( k ) ] → P ( k + 1 ) [P(1)\bigwedge P(2)\bigwedge …\bigwedge P(k)]\to P(k+1)
[
P
(
1
)
⋀
P
(
2
)
⋀
.
.
.
⋀
P
(
k
)
]
→
P
(
k
1
)
也为真
- 良序性公理：任何一个非空的非负整数集合都有最小元素
递归定义域结构归纳法
- 递归定义（归纳定义）：为了定义以非负整数集合作为其定义域的函数，使用两个步骤：
- 基础步骤：规定这个函数在0处的值
- 递归步骤：给出从较小的整数处的值来求出当前的值的规则
- 函数的递归定义：规定一组初始的函数值以及从较小整数处的函数值获得较大整数处的函数值的规则
- 集合的递归定义：规定集合里的一组初始元素以及从已知属于集合的元素获得其他元素的规则
- 结构归纳法：
- 基础步骤：证明对于递归定义的基础步骤所规定的属于该集合的所有元素来说，结果成立
- 递归步骤：证明如果对于定义的递归步骤中用来构造新元素的每个元素来说命题为真，则对于这些新的元素来说结果成立
递归算法
递归算法：把问题归约到带更小输入的相同问题的实例来解决原来的问题
归并排序：排序一个表的排序算法，把一个表分为两个表，对得出的两个表各自进行排序，并把结果归并成一个有序表
序算法，把一个表分为两个表，对得出的两个表各自进行排序，并把结果归并成一个有序表
迭代：基于反复利用循环中的操作的过程