python 皮尔森相关系数（Pearson）

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一、概述

• 皮尔森相关系数也称皮尔森积矩相关系数(Pearson product-moment correlation coefficient) ，是一种线性相关系数，是最常用的一种相关系数。记为r，用来反映两个变量X和Y的线性相关程度，r 值介于-1到1之间，绝对值越大表明相关性越强。

• 适用连续变量。

• 相关系数与相关程度一般划分为

  0.8 - 1.0 极强相关

  0.6 - 0.8 强相关

  0.4 - 0.6 中等程度相关

  0.2 - 0.4 弱相关

  0.0 - 0.2 极弱相关或无相关

二、定义

2.1 总体样本定义

ρ X , Y

c o v ( X , Y ) σ X σ Y

E ( X − μ X ) E ( Y − μ Y ) σ X σ Y \begin{aligned} \rho_{X,Y} = \frac {cov(X,Y)} {\sigma_{X} \sigma_{Y}} = \frac {E(X-\mu_{X}) E(Y-\mu_{Y})} {\sigma_{X} \sigma_{Y}} \end{aligned}

ρ

X

,

Y

​

=

σ

X

​

σ

Y

​

c

o

v

(

X

,

Y

)

​

=

σ

X

​

σ

Y

​

E

(

X

−

μ

X

​

)

E

(

Y

−

μ

Y

​

)

​

​

其中，

σ X

E { [ X − E ( X ) ] 2 } , σ Y

E { [ Y − E ( Y ) ] 2 } \sigma_{X} = \sqrt{E{[X - E(X)]^{2}}},\sigma_{Y} = \sqrt{E{[Y - E(Y)]^{2}}}

σ

X

​

=

E

{

[

X

−

E

(

X

)

]

2

}

​

,

σ

Y

​

=

E

{

[

Y

−

E

(

Y

)

]

2

}

​

2.2 估算样本定义

• 估算样本的协方差和标准差，可得到样本相关系数（即样本皮尔森相关系数），常用 r 表示：

  r

  ∑ i

  1 n ( X i − X ‾ ) ( Y i − Y ‾ ) ∑ i

  1 n ( X i − X ‾ ) 2 ∑ i

  1 n ( Y i − Y ‾ ) 2 \begin{aligned} r = \frac { \displaystyle \sum_{i=1}^{n} (X_{i} - \overline{X}) (Y_{i} - \overline{Y}) } { \sqrt{ \displaystyle \sum_{i=1}^{n} (X_{i} - \overline{X})^{2} } \sqrt{ \displaystyle \sum_{i=1}^{n} (Y_{i} - \overline{Y})^{2} } } \end{aligned}

  r

  =

  i

  =

  1

  ∑

  n

  ​

  (

  X

  i

  ​

  −

  X

  )

  2

  ​

  i

  =

  1

  ∑

  n

  ​

  (

  Y

  i

  ​

  −

  Y

  )

  2

  ​

  i

  =

  1

  ∑

  n

  ​

  (

  X

  i

  ​

  −

  X

  )

  (

  Y

  i

  ​

  −

  Y

  )

  ​

  ​

• 还可以由(Xi,Yi)样本点的标准分数均值估计得到与上式等价的表达式

  r

  1 n − 1 ∑ i

  1 n ( X i − X ‾ σ X ) ( Y i − Y ‾ σ Y ) \begin{aligned} r = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}{ (\frac {X_{i} - \overline{X}} {\sigma_{X}} ) (\frac {Y_{i} - \overline{Y}} {\sigma_{Y}} ) } \end{aligned}

  r

  =

  n

  −

  1

  1

  ​

  i

  =

  1

  ∑

  n

  ​

  (

  σ

  X

  ​

  X

  i

  ​

  −

  X

  ​

  )

  (

  σ

  Y

  ​

  Y

  i

  ​

  −

  Y

  ​

  )

  ​

  其中，

  X i − X ‾ σ X \frac {X_{i} - \overline{X}} {\sigma_{X}}

  σ

  X

  ​

  X

  i

  ​

  −

  X

  ​

  是样本X的标准分数。

2.3 两种计算方式

• (1)

  ρ X , Y

  c o v ( X , Y ) σ X σ Y

  E ( X − μ X ) E ( Y − μ Y ) σ X σ Y

  E ( X Y ) − E ( X ) E ( Y ) E ( X 2 ) − E 2 ( X ) E ( Y 2 ) − E 2 ( Y ) \begin{aligned} \rho_{X,Y} = \frac {cov(X,Y)} {\sigma_{X} \sigma_{Y}} = \frac {E(X-\mu_{X}) E(Y-\mu_{Y})} {\sigma_{X} \sigma_{Y}} = \frac {E(XY) - E(X)E(Y)} { \sqrt{E(X^2) - E^{2}(X)} \sqrt{E(Y^2) - E^{2}(Y)} } \end{aligned}

  ρ

  X

  ,

  Y

  ​

  =

  σ

  X

  ​

  σ

  Y

  ​

  c

  o

  v

  (

  X

  ,

  Y

  )

  ​

  =

  σ

  X

  ​

  σ

  Y

  ​

  E

  (

  X

  −

  μ

  X

  ​

  )

  E

  (

  Y

  −

  μ

  Y

  ​

  )

  ​

  =

  E

  (

  X

  2

  )

  −

  E

  2

  (

  X

  )

  ​

  E

  (

  Y

  2

  )

  −

  E

  2

  (

  Y

  )

  ​

  E

  (

  X

  Y

  )

  −

  E

  (

  X

  )

  E

  (

  Y

  )

  ​

  ​

• (2)

  ρ X , Y

  n ∑ X Y − ∑ X ∑ Y n ∑ X 2 − ( ∑ X ) 2 n ∑ Y 2 − ( ∑ Y ) 2 \begin{aligned} \rho_{X,Y} = \frac {n \sum{XY} - \sum{X}\sum{Y}} { \sqrt{n \sum{X^{2}} - (\sum{X})^{2}} \sqrt{n \sum{Y^{2}} - (\sum{Y})^{2}} } \end{aligned}

  ρ

  X

  ,

  Y

  ​

  =

  n

  ∑

  X

  2

  −

  (

  ∑

  X

  )

  2

  ​

  n

  ∑

  Y

  2

  −

  (

  ∑

  Y

  )

  2

  ​

  n

  ∑

  X

  Y

  −

  ∑

  X

  ∑

  Y

  ​

  ​

2.4 皮尔森距离

d X , Y

1 − ρ X , Y d_{X,Y} = 1 - \rho_{X,Y}

d

X

,

Y

​

=

1

−

ρ

X

,

Y

​

三、python 实现

3.1 生成随机数据集

import random
import pandas as pd

n = 10000
X = [random.normalvariate(100, 10) for i in range(n)] # 随机生成服从均值100，标准差10的正态分布序列
Y = [random.normalvariate(100, 10) for i in range(n)] # 随机生成服从均值100，标准差10的正态分布序列
Z = [i*j for i,j in zip(X,Y)]
df = pd.DataFrame({"X":X,"Y":Y,"Z":Z})

3.2 绘制散点图

import matplotlib.pyplot as plt 

# 绘制散点图矩阵
pd.plotting.scatter_matrix(df)
plt.show()

3.3 计算相关系数

3.3.1 自定义函数（无显著性检验）

import math

def PearsonFirst(X,Y):
    '''
        公式一
    '''
    XY = X*Y
    EX = X.mean()
    EY = Y.mean()
    EX2 = (X**2).mean()
    EY2 = (Y**2).mean()
    EXY = XY.mean()
    numerator = EXY - EX*EY                                 # 分子
    denominator = math.sqrt(EX2-EX**2)*math.sqrt(EY2-EY**2) # 分母
    
    if denominator == 0:
        return 'NaN'
    rhoXY = numerator/denominator
    return rhoXY

def PearsonSecond(X,Y):
    '''
        公式二
    '''
    XY = X*Y
    X2 = X**2
    Y2 = Y**2
    n = len(XY)
    numerator = n*XY.sum() - X.sum()*Y.sum()                                            # 分子
    denominator = math.sqrt(n*X2.sum() - X.sum()**2)*math.sqrt(n*Y2.sum() - Y.sum()**2) # 分母
    
    if denominator == 0:
        return 'NaN'
    rhoXY = numerator/denominator
    return rhoXY 
    
r1 = PearsonFirst(df['X'],df['Z'])  # 使用公式一计算X与Z的相关系数
r2 = PearsonSecond(df['X'],df['Z']) # 使用公式二计算X与Z的相关系数
print("r1: ",r1)
print("r2: ",r2)

3.3.2 python 函数

（1） pandas.corr 函数（无显著性检验）

• 参数解析

  DataFrame. corr (

  method = ‘pearson’, # 可选值为{‘pearson’:‘皮尔森’, ‘kendall’:‘肯德尔秩相关’, ‘spearman’:‘斯皮尔曼’}

  min_periods=1    # 样本最少的数据量

  )

df.corr(method="pearson")

（2） scipy.stats.pearsonr 函数 （有显著性检验）

from scipy.stats import pearsonr

r = pearsonr(df['X'],df['Z'])
print("pearson系数：",r[0])
print("   P-Value：",r[1])

（3） pandas.corr 加 scipy.stats.pearsonr 获取相关系数检验P值矩阵

def GetPvalue_Pearson(x,y):
    return pearsonr(x,y)[1]

df.corr(method=GetPvalue_Pearson)

• 参考：
• 参考：
• 参考：

68747470733a2f2f:626c6f672e6373646e2e6e65742f736d616c6c5f5f726f632f:61727469636c652f64657461696c732f313233353139363136