留数定理-含-数学物理方法吴崇试-第三版答案详解

2022-11-01 约 702 字预计阅读 2 分钟

https://bing.ee123.net/img/rand?artid=127564205

留数定理含数学物理方法（吴崇试第三版）答案详解

留数什么是不令人愉快的
据说，期末考得很简单，希望老师真的实践这一点。
没有写出来的题,我要么打了问号,要么就没写上去,哈哈哈哈!

有限点留数的定义及留数定理

我哪知道，光学都快没了
赶紧润吧，no go to physics
设函数f(z)以有限点a为孤立奇点,即f(z)在点a的去心领域0<|z-a|<R内解析,则称积分:

$https://latex.csdn.net/eq?%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi%20i%20%7D%5Cint_%7B%5CGamma%7Df%28z%29dz%28%5CGamma%20%3A%7Cz-a%7C%3D%5Crho%2C0%3C%5Crho%3CR%29$

为f(z)在a点的留数,由柯西积分定理可得

$Res(f(z),a)=c_{-1}$

柯西留数定理

f(z)在周线或复周线所围的范围内

$\int_Cf(z)dz=2\pi i \sum_{k=1}^{n}Res(f(z),a_k)$

有限点留数的求法

许多求法，你就求吧
$Res(f(z),a)=c_{-1}$
当a为f(z)的可去奇点或者解析点时

当a为n阶极点时,必然有 $https://latex.csdn.net/eq?f%28z%29%3D%5Cfrac%7B%5Cvarphi%28z%29%7D%7B%28z-a%29%5En%7D$ ,因此

$https://latex.csdn.net/eq?Res_%7Bz%3Da%7Df%28z%29%3D%5Cfrac%7B%5Cvarphi%5E%7B%28n-1%29%7D%28a%29%7D%7B%28n-1%29%21%7D$

函数在无穷远点留数的定义及计算方法

无穷远点留数的定义

在去心领域 $N-\begin{Bmatrix} \infty \end{Bmatrix}:0\leq r< \begin{vmatrix} z \end{vmatrix}< +\infty$

$https://latex.csdn.net/eq?%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi%20i%7D%5Cint_%7B%5CGamma%5E%7B-%7D%7Df%28z%29dz%28%5CGamma%3A%5Cbegin%7Bvmatrix%7D%20z%20%5Cend%7Bvmatrix%7D%3D%5Crho%3Er%29$

为函数在无穷远点处的留数

无穷远点处留数的求法

拉兄弟一吧
真男人就得当水手

定义法：

评论一下，虽然我不知道为什么定义是这样，但是它就是这样，而且从我那朴素的感觉上看是这样，那我就也没有办法了，哈哈哈

展式：

$Res(f(z),\infty)=-c_{-1}$

扩充复平面留数和定理：

如果函数f(z)在扩充复平面上只有有限个孤立奇点,那么f(z)在各点的留数总和为0

零点替换：

$https://latex.csdn.net/eq?Res%28f%28z%29%2C%5Cinfty%29%3D-Res%28f%28%5Cfrac%7B1%7D%7Bt%7D%29%5Cfrac%7B1%7D%7Bt%5E2%7D%2C0%29$

四个特别重要的引理

小圆弧引理

如果函数在的点的空心邻域内连续,并且在 $\theta_1 \leq arg(z-a) \leq \theta_2$ 中,当 $\begin{vmatrix} z-a \end{vmatrix}\rightarrow 0$ 时, 一致地趋近于k,则

$\lim_{\delta\rightarrow0}\int_{C_R}f(z)dz=ik(\theta_2 - \theta_1)$

其中, $C_\delta$ 是以为圆心, $\delta$ 为半径,张角为 $\theta_2-\theta_1$ 的圆弧

大圆弧引理

设在 $\infty$ 点的领域内连续,在 $\theta_1 \leq arg,z \leq \theta_2$ 中,当 $\begin{vmatrix} z\end{vmatrix}\rightarrow\infty$ 时, 一致地趋近于k,则

$\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{C_R}f(z)dz=ik(\theta_2-\theta_1)$

其中, 是以为圆心, 为半径,张角为 $\theta_2-\theta_1$ 的圆弧

Jordan引理

在 $0\leq argz\leq \pi$ 范围内,当 $\left | z \right | \rightarrow \infty$ 时, 一致地趋于0,则有

$\lim_{R\rightarrow \infty}\int_{C_R}Q(z)e^{ipz}dz=0$

其中, , 是以原点为圆心, 为半径的上半圆弧

Jordan引理的补充引理

函数只有有限个奇点,且在下半平面的范围内,当 $\begin{vmatrix} z \end{vmatrix}\rightarrow\infty$ 时一致地趋近于0,则

$\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{C_R}Q(z)e^{-ipz}dz=2\pi i \times \sum res \begin{Bmatrix} Q(z)e^{-ipz} \end{Bmatrix}=-2\pi i \times res\begin{Bmatrix}Q(z)e^{-ipz} \end{Bmatrix}_{z=\infty}$

其中 , 是以原点为圆心, 为半径的上半圆弧

作业答案

(sinx/x)^n积分的问题

$https://latex.csdn.net/eq?%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bsin%5C%2Cx%7D%7Bx%7Ddx%3D%5Cpi$

$https://latex.csdn.net/eq?%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bsin%5C%2Cx%7D%7Bx%7Ddx%3D%5Cpi%3DIm%28%5Cint_%7B-R%7D%5E%7B-%5Cdelta%7D%5Cfrac%7Be%5E%7Biz%7D%7D%7Bz%7Ddz+%5Cint_%7B%5Cdelta%7D%5E%7BR%7D%5Cfrac%7Be%5E%7Biz%7D%7D%7Bz%7Ddz%29$

$https://latex.csdn.net/eq?%5Cint_%7B-C_%5Cdelta%7D%5Cfrac%7Be%5E%7Biz%7D%7D%7Bz%7Ddz+%5Cint_%7B-R%7D%5E%7B-%5Cdelta%7D%5Cfrac%7Be%5E%7Biz%7D%7D%7Bz%7Ddz+%5Cint_%7B%5Cdelta%7D%5E%7BR%7D%5Cfrac%7Be%5E%7Biz%7D%7D%7Bz%7Ddz+%5Cint_%7BC_R%7D%5Cfrac%7Be%5E%7Biz%7D%7D%7Bz%7Ddz%3D0$

$https://latex.csdn.net/eq?%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bsin%5E2%5C%2Cx%7D%7Bx%5E2%7Ddx%3D%5Cpi$