二叉搜索树查找插入删除的讲解实现图文并茂

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2023-05-25 约 2316 字预计阅读 5 分钟

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二叉搜索树（查找、插入、删除的讲解实现+图文并茂）

1. 二叉搜索树（BST）

1.1 二叉搜索树概念

二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树：

若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值
若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值
它的左右子树也分别为二叉搜索树

我举几个例子，更直观的看清楚结构：

1.2 二叉搜索树操作

int a[] = {8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13};

1.2.1 二叉搜索树的查找

从根开始比较，查找，比根大则往右边走查找，比根小则往左边走查找。
最多查找高度次 ，走到空，还没找到，则这个值不存在。

1.2.2 二叉搜索树的插入

插入的具体过程如下：

树为空，则直接新增节点，赋值给root指针
树不为空，按二叉搜索树性质查找插入的位置，插入新节点（记录父节点，判断插入的节点应该在父节点的左子树还是右子树）

1.2.3 二叉搜索树的删除

首先查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在，则返回, 否则要删除的结点可能分下面四种情

况：

a. 要删除的结点无孩子结点

b. 要删除的结点只有左孩子结点

c. 要删除的结点只有右孩子结点

d. 要删除的结点有左、右孩子结点

看似删除节点有4种情况，但实际上a和b和c可以合并，这样就只有2种情况了：
a:待删除的结点无孩子/只有一个孩子：删除结点并使父亲结点指向被删除结点的孩子结点（无孩子视为孩子是空结点，任意指向一个即可）
b:待删除的结点有左右孩子：采用替换法
，寻找删除结点右子树的最小结点（右子树最左结点），将最小结点的值和删除结点的值替换，然后删除最小结点（此时最小结点，要么没有孩子，要么只有一个孩子，符合a情况可以直接删除）

2. 二叉搜索树的实现

2.1BST基本结构

结点：

template<class K>
struct BSTreeNode
{
	BSTreeNode<K>* _left;
	BSTreeNode<K>* _right;
	K _key;

	BSTreeNode(const K& key)
		:_left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _key(key)
	{}
};

BST树：

template<class K>
class BSTree
{
	typedef BSTreeNode<K> Node;
public:
    //成员函数
private:
    Node* _root=nullptr;
};

查找：

bool Find(const K& key)
{
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
        //待查值大于当前结点，去右子树
		if (cur->_key < key)
		{
			cur = cur->_right;
		}
        //待查值小于当前结点，去左子树
		else if (cur->_key > key)
		{
			cur = cur->_left;
		}
        //找到
		else
		{
			return true;
		}
	}

	return false;
}

2.2 BST操作成员函数(非递归）

插入：

bool Insert(const K& key)
{
    //树为空，则直接新增结点，赋值给_root指针
	if (_root == nullptr)
	{
		_root = new Node(key);
		return true;
	}

	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = _root;
    //按性质查找插入的位置，并且记录父结点
	while (cur)
	{
		if (cur->_key < key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_key > key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
        //已有结点，不需要再插入
		else
		{
			return false;
		}
	}

	cur = new Node(key);
    //判断是插入父结点的左部还是右部
	if (parent->_key < key)
	{
		parent->_right = cur;
	}
	else
	{
		parent->_left = cur;
	}

	return true;
}

删除：

bool Erase(const K& key)
{
	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = _root;
    //查找是否有待删除的节点
	while (cur)
	{
		if (cur->_key < key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_key > key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else
		{
			// 开始删除
			// 1、左为空
			// 2、右为空
			// 3、左右都不为空
			if (cur->_left == nullptr)
			{
                //判断下当前节点是否是_root，若是,无法用parent(当前为nullptr，防止野指针错误)
				if (cur == _root)
				{
					_root = cur->_right;
				}
				else
				{
					if (cur == parent->_left)
					{
						parent->_left = cur->_right;
					}
					else
					{
						parent->_right = cur->_right;
					}
				}

				delete cur;
				cur = nullptr;
			}
			else if (cur->_right == nullptr)
			{
				if (_root == cur)
				{
					_root = cur->_left;
				}
				else
				{
					if (cur == parent->_left)
					{
						parent->_left = cur->_left;
					}
					else
					{
						parent->_right = cur->_left;
					}
				}

				delete cur;
				cur = nullptr;
			}
			else
			{
				//记录删除节点父节点
				Node* minParent = cur;
				//找到右子树最小节点进行替换
				Node* min = cur->_right;
				while (min->_left)
				{
					minParent = min;
					min = min->_left;
				}
				swap(cur->_key, min->_key);
				//min在父的左孩子上
				if (minParent->_left == min)
					//万一最左节点还有右孩子节点，或者是叶子也直接指右为空
					minParent->_left = min->_right;
				//min在父的右孩子上（待删除节点在根节点，最左节点为根节点的右孩子）
				else
					minParent->_right = min->_right;
				delete min;
				min == nullptr;
			}
			return true;
		}
	}
	return false;
}

其他成员函数这里就不展示了，这里再说一个小tips:

default：强制编译器生成默认的构造——C++11的用法

BSTree()=default;

2.3 BST操作成员函数（递归）

还是递归香，看懂了上面的非递归那么就可以改造成递归了。

查找：

bool _FindR(Node*& root, const K& key)
{
	if (root == nullptr)
		return false;
	if (root->_key < key)
	{
		return _FindR(root->_right, key);
	}
	else if (root->_key > key)
	{
		return _FindR(root->_left, key);
	}
	else
	{
		return true;
	}
}

插入：

bool _InsertR(Node*& root, const K& key)
{
	if (root == nullptr)
	{
		root = new Node(key);
		return true;
	}

	if (root->_key < key)
		return _InsertR(root->_right, key);
	else if (root->_key > key)
		return _InsertR(root->_left, key);
	else
		return false;
}

删除：

bool _EraseR(Node*& root, const K& key)
{
	Node* del = root;
	if (root == nullptr)
		return false;
	if (root->_key < key)
		return _EraseR(root->_right, key);
	else if (root->_key > key)
		return _EraseR(root->_left, key);
	else
	{
		if (root->_left == nullptr)
			root = root->_right;
		else if (root->_right == nullptr)
			root = root->_left;
		else
		{
			//找右数的最左节点替换删除
			Node* min = root->_right;
			while (min->_left)
			{
				min = min->_left;
			}
			swap(root->_key, min->_key);
			//交换后结构改变不是搜索二叉树了，规定范围在右树（因为是右树最左节点替换）再递归
			return _EraseR(root->_right, key); 
		}
		delete del;
		return true;
				
	}

}

3. 二叉搜索树的应用

K模型
：K模型即只有key作为关键码，结构中只需要存储Key即可，关键码即为需要搜索到的值。

比如： 给一个单词word，判断该单词是否拼写正确 ，具体方式如下：

以词库中所有单词集合中的每个单词作为key，构建一棵二叉搜索树

在二叉搜索树中检索该单词是否存在，存在则拼写正确，不存在则拼写错误。

KV模型
：每一个关键码key，都有与之对应的值Value，即<Key, Value>的键值对。该种方
式在现实生活中非常常见：

比如 英汉词典就是英文与中文的对应关系 ，通过英文可以快速找到与其对应的中文，英文单词与其对应的中文<word, chinese>就构成一种键值对；

再比如 统计单词次数 ，统计成功后，给定单词就可快速找到其出现的次数， 单词与其出

现次数就是<word, count>就构成一种键值对。

4. 二叉搜索树的性能分析

插入和删除操作都必须先查找，查找效率代表了二叉搜索树中各个操作的性能。

对有n个结点的二叉搜索树，若每个元素查找的概率相等，则二叉搜索树平均查找长度是结点在二叉搜索树的深度的函数，即结点越深，则比较次数越多。

但对于同一个关键码集合，如果各关键码插入的次序不同，可能得到不同结构的二叉搜索树：

最优情况下：二叉搜索树为完全二叉树（或者接近完全二叉树），其平均比较次数为： log(N)

最差情况下：二叉搜索树退化为单支树（或者类似单支），其平均比较次数为 N

如果退化为单支树，二叉搜索树的性能就失去了。那能否进行改进？无论按照什么次序插入关键码，都能达到最优？这就需要AVL树和红黑树了。