数学物理方法-数学物理方程
数学物理方法 数学物理方程
数学物理方程就是具有物理背景的数学方程。
微分方程包含常微分方程（ODE）和偏微分方程（PDE）。前者在高等数学中简单的学过，ODE是指方程只对一个变量求导。PDE是指方程对多个变量求导(如x, y, t)。
除此之外数学物理方程还有积分方程（不讨论）。
二阶线性偏微分方程（二阶值最高求两次导）
本章研究二阶线性偏微分方程。
算符：需要和函数一起作用，比如取模算法，求和算符
梯度算符：
返回最大的方向导数，和函数作用得到的是一个向量。
拉普拉斯算符：
两个梯度算符点乘，和函数作用得到的是一个标量
约定：
u t
∂ u ∂ t u_t =\frac{ \partial u}{\partial t}
u
t
=
∂
t
∂
u
u t t
∂ 2 u ∂ t 2 u_{tt} =\frac{ \partial ^2u}{\partial t^2}
u
t
t
=
∂
t
2
∂
2
u
二阶PDE包括：
椭圆形
常见的：
拉普拉斯方程
∇ 2 u
0 \nabla ^2u=0
∇
2
u
=
0
泊松方程：（反映有源的稳定场,如有热源稳定的温度场，有电荷的稳定电场 ）
∇ 2 u
f \nabla ^2u=f
∇
2
u
=
f
f=f(x,y,z,t)可以是静电场的电势
抛物型（特征线是抛物线）
用来描述扩散场，即场还没有稳定下来，特定点的函数值随时间变化。
u t − D ∇ 2 u
f u_t - D\nabla^2u=f
u
t
−
D
∇
2
u
=
f
D是扩散系数（导热系数），f=f(x,y,z,t)是与源有关的已知量。
双曲线方程
波动方程，用来描述振动和波动
u t t − a 2 ∇ 2 u
f u_{tt} - a^2 \nabla^2u=f
u
t
t
−
a
2
∇
2
u
=
f
a表示波的传播速度，a为声速则表示机械波，a为光速则为电磁波等。f=f(x,y,z,t)是与源有关的已知量，一般指强迫振动源。
下面研究解的 存在性（ 求解 ）、唯一性、稳定性（）。
求解步骤：
物理问题转化为数学问题，即提出 定解问题 。
偏微分方程给出了场中时间空间的联系，偏微分方程称为 泛定方程 。但是还需要给出 定解条件 ，即初始条件（除非是稳定场）和边界条件（除非是无边界）才能求解数学物理方程。泛定条件和定解条件一起称为 定解问题 。
求解方法：
波动方程可以用—–行波法
所有方程可以用—– 分离变量法 ，
积分变换法（主要 拉普拉斯积分 变换，傅里叶积分变换）
格林函数法
其他：变分法，数值解（构造差分方程，求数值解）
例子：
为什么稳定场稳定泊松方程？
∇ 2 u
f \nabla ^2u=f
∇
2
u
=
f
在静电场中，电荷静止不动，其产生的电势也不随时间变化。
由麦克斯韦方程组微分形式：
∇ D ⃗
ρ f \nabla \vec{D} =\rho _f
∇
D
=
ρ
f
D ⃗
ξ E ⃗ \vec{D}= \xi \vec{E}
D
=
ξ
E
E ⃗
− ∇ u \vec{E} = - \nabla u
E
=
−
∇
u
电场方向是 电势降落最快的方向。ξ是和介质相关的常数，ρf是和电荷分布相关函数.
∇ 2 u
− ρ f ξ \nabla ^2u=-\frac{\rho _f}{\xi}
∇
2
u
=
−
ξ
ρ
f
如果讨论区域无电荷，则右边为0
定解条件
初始条件：
对于含有t的泛定方程，需要给出初始条件。初始条件是关于xyz的函数。
泊松方程没有初始条件。因为不含t。
边界条件
边界点上关于t的函数。
第一类边界条件：给出了未知函数在边界上的值。
第二类边界条件：
给出边界法向的导数值。
第三类边界条件：
给出边界的值和法向导数的值的线性组合的值。
边界条件还可以分齐次非齐次，如果等号右边为0，则称为齐次，否则为非齐次。
定解问题的分类：
柯西问题：只有初始条件，没有边界条件。
常常处理无界的问题
边值问题：没有初始条件，只有边界条件。
常常处理狄氏问题，如稳定的温度场。
混合问题：有初始条件和边界条件。