数学符号inf什么是集合下确界
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数学符号inf：什么是集合下确界
在数学中，符号
inf
是 “infimum” 的缩写，表示一个集合的下确界（或下界中最大的元素）。这是一个重要的概念，特别是在分析和优化领域。
Infimum 的定义
给定一个非空集合 (
S S
S )（通常是实数集的子集），如果 (
m m
m ) 满足以下两个条件：
( m ) 是 ( S ) 的下界：对于所有 ( x ) 属于 ( S ) 的元素，都有 (
m ≤ x m \leq x
m
≤
x )。
( m ) 是所有下界中最大的：对于任何下界 ( l )（即 (
l ≤ x l \leq x
l
≤
x ) 对于所有 (
x ∈ S x \in S
x
∈
S )），都有 (
l ≤ m l \leq m
l
≤
m )。
那么，( m ) 就被称为 ( S ) 的 下确界 或 infimum ，记作 (
inf S \inf S
in f
S )。
示例
有限集合 ：
设 (
S
{ 3 , 5 , 7 } S = {3, 5, 7}
S
=
{
3
,
5
,
7
} )。集合 (
S S
S ) 的下界包括所有小于或等于3的数，例如2、1、0、-1等等。下界中最大的数是3，因此 (
inf S
3 \inf S = 3
in f
S
=
3 )。
无限集合 ：
设 (
S
( 0 , 1 ) S = (0, 1)
S
=
(
0
,
1
) )，即所有介于0和1之间的实数。任何负数或零都是 (
S S
S ) 的下界，但最大下界是0。因此，(
inf S
0 \inf S = 0
in f
S
=
0 )。
无界集合 ：
设 (
S
{ x ∈ R ∣ x
1 } S = {x \in \mathbb{R} \mid x > 1}
S
=
{
x
∈
R
∣
x
1
} )。对于这个集合，1是下界，但不是最小的下界。任意小于1的数都可以是下界，但它们没有最大值，这种情况下我们可以认为 (
inf S
1 \inf S = 1
in f
S
=
1 )。
Infimum 和 Minimum 的关系
Minimum （最小值）：若 ( S ) 的最小元素 ( m ) 存在，则 ( m ) 是 ( S ) 中的一个元素，并且 (
m ≤ x m \leq x
m
≤
x ) 对于所有 (
x ∈ S x \in S
x
∈
S ) 成立。此时 (
inf S
min S
m \inf S = \min S = m
in f
S
=
min
S
=
m )。
Infimum （下确界）：若 ( S ) 没有最小元素，但存在下确界 ( m )，则 ( m ) 不一定是 ( S ) 的元素，但仍满足 (
m ≤ x m \leq x
m
≤
x ) 对于所有 (
x ∈ S x \in S
x
∈
S ) 成立。
常见符号
在数学中，infimum 通常用以下符号表示：
(
inf S \inf S
in f
S )
(
inf x ∈ S f ( x ) \inf_{x \in S} f(x)
in f
x
∈
S
f
(
x
) ) （表示函数 (
f f
f ) 在集合 (
S S
S ) 上的下确界）
总结
inf
在数学中表示一个集合的下确界，是该集合所有下界中的最大值。它在分析和优化等领域有广泛应用，帮助定义和计算函数的下界。