高等数学全章节笔记
《高等数学》全章节笔记
第一章——函数与极限
第一节：集合、映射、函数
一，集合
1.概念
（1）集合 元素 有限集合 无限集合
（2）集合的表示方法
集合：A. B. C. … 元素：a. b. c. …
a ∈ A (a属于集合A) a ∉ A （a不属与集合A）
表示方法：列举法、描述法
(3)集合之间的关系
A为B的子集 A⊂B (A包含在B里)； B为A的子集 B⊃A (B包含在A里)；
两集合相等的充分必要条件是：A⊂B 且B⊃A
A⊂B 且A≠B 称A为B的一个真子集。
空集： ϕ
2.运算法则
(1)交换律
交换律表明，在集合的并集和交集中，集合的顺序可以交换而不影响结果。
并集交换律 ： A ∪ B
B ∪ A交集交换律 ： A ∩ B
B ∩ A
(2) 结合律
结合律表明，当对集合进行连续运算时，运算的顺序可以改变而不影响最终结果。
并集结合律 ：( A ∪ B )∪ C
A ∪( B ∪ C )交集结合律 ：( A ∩ B )∩ C
A ∩( B ∩ C )
(3)分配律
分配律描述了并集与交集之间的分配关系。
- 分配律（并集对交集的分配） ： A ∩( B ∪ C )=( A ∩ B )∪( A ∩ C )
- 分配律（交集对并集的分配） ：虽然直接的形式 A ∪( B ∩ C )=( A ∪ B )∩( A ∪ C )也是正确的，但更常见的是使用德·摩根律的逆形式来间接体现这一点。
(4)幂等律
幂等律表明，集合与其自身的并集或交集等于集合本身。
并集幂等律 ： A ∪ A
A交集幂等律 ： A ∩ A
A
(5)同一律
同一律描述了集合与全集或空集进行运算时的特性。
- 并集同一律 ： A ∪∅= A （任何集合与空集的并集等于该集合本身）
交集同一律 ：在某些情况下，如果U表示全集，则 A ∩ U
A （集合与全集的交集等于该集合本身）
(6) 零律
零律特别涉及空集在集合运算中的作用。
- 交集零律 ： A ∩∅=∅（任何集合与空集的交集是空集）
- 并集零律 （通常不单独提及，但可通过同一律和空集性质理解）
(7) 吸收律
吸收律表明，并集和交集运算在一定条件下可以“吸收”另一个运算的结果。
- 并集吸收律 ： A ∪( A ∩ B )= A
- 交集吸收律 ： A ∩( A ∪ B )= A
(8)德·摩根律
德·摩根律描述了集合的补集与交集、并集之间的关系。
- 德·摩根律（交集补） ：∁ U ( A ∩ B )=∁ U A ∪∁ U B （集合A和B交集的补集等于A的补集与B的补集的并集）
- 德·摩根律（并集补） ：∁ U ( A ∪ B )=∁ U A ∩∁ U B （集合A和B并集的补集等于A的补集与B的补集的交集）
3.区间与邻域
（1）区间
定义 ：区间是实数轴上连续的一段数集，它表示了某一范围内的所有实数。
分类 ：
- 开区间 ：表示不包括端点的区间，记作(a, b)，其中a和b是实数，且a < b。图像上，开区间(a, b)对应于数轴上a和b之间但不包括a和b的所有点。
- 闭区间 ：表示包括端点的区间，记作[a, b]，其中a和b是实数，且a < b。图像上，闭区间[a, b]对应于数轴上a和b之间包括a和b的所有点。
- 半开半闭区间 ：表示只包括一个端点的区间，有两种情况：[a, b)和(a, b]，其中a和b是实数，且a < b。图像上，[a, b)对应于数轴上从a（包括a）到b（不包括b）的所有点；(a, b]则对应于从a（不包括a）到b（包括b）的所有点。
- 无限区间 ：表示区间的一端或两端可以延伸到无穷大，如(-∞, a)、[a, +∞)、(-∞, +∞)等。图像上，这些区间分别对应于数轴上小于a的所有点、大于或等于a的所有点、以及所有实数点。
解释 ：区间是实数集的一种子集，它用于描述实数轴上的连续范围。
（2）邻域
定义 ：邻域是一个特殊的区间，它以某个点为中心，包含该点周围的一定范围内的所有点。
分类 ：
- δ邻域 ：设a是实数，δ是正数，则开区间(a-δ, a+δ)称为点a的δ邻域，记作U(a; δ)或简单地写作U(a)。图像上，U(a; δ)对应于数轴上以a为中心、δ为半径的开区间内的所有点。
- 去心邻域 ：有时我们需要考虑不包括中心点的邻域，即去心邻域。点a的去心δ邻域记作U°(a; δ)，它等于(a-δ, a)∪(a, a+δ)。图像上，U°(a; δ)对应于数轴上以a为中心、δ为半径但不包括a点的开区间内的所有点。
- 左邻域和右邻域 ：还可以定义点a的左δ邻域U-(a; δ)为(a-δ, a]，右δ邻域U+(a; δ)为[a, a+δ)。这些邻域分别表示a点左侧或右侧的一定范围内的所有点。
邻域公理 ：邻域公理是现代数学拓扑结构的基础概念之一，它定义了空间上的整套邻域系。具体来说，对于拓扑空间X中的任意点x，存在一个包含x的邻域系U(x)，满足一系列公理（如U1至U4，详细见参考文章）。这些公理确保了邻域系具有良好的性质，从而可以通过邻域来定义拓扑空间的其他重要概念（如开集、闭集等）。
二、映射
映射的概念: 映射（Mapping）是指两个元素的集之间元素相互“对应”的关系。具体来说，如果两个非空集合A与B间存在着对应关系f，使得对于集合A中的任意一个元素a，在集合B中都有唯一的元素b与之对应，那么这种对应就称为从集合A到集合B的映射，记作f:A→B。其中，b称为元素a在映射f下的像，记作b=f(a)；a称为b关于映射f的原像。
(1)成立条件
映射的成立条件可以简单表述为：
- 定义域的遍历性 ：集合A中的每个元素在映射的值域中都有对应的像。
- 唯一性 ：对于集合A中的任意一个元素a，集合B中都存在唯一的元素b与之对应。
(2)分类
单射 ：如果集合A中任意两个不同元素a1和a2，它们的像f(a1)和f(a2)也不同，即f(a1)≠f(a2)，则称映射f为单射。
满射 ：如果集合B中的每一个元素都是集合A中某元素的像，即对于B中的任意元素b，都存在A中的元素a，使得f(a)=b，则称映射f为满射。
一一映射（双射） ：如果映射f既是单射又是满射，即对于集合A中的任意两个不同元素，它们在集合B中都有不同的像，并且集合B中的每一个元素都是集合A中某元素的像，则称映射f为一一映射或双射。
复合映射：
设有两个映射
f:X→Y
和
g:Y→Z
，若
g
的值域
Rg
（即
Y
中所有被
g
映射到的元素的集合）被包含在
f
的定义域
Df
（即
X
）内，则可以通过以下方式定义一个新的映射
g
∘
f:X→Z
：对于
X
中的任意元素
x
，先通过映射
f
将其映射到
Y
中的元素
f(x)
，然后再通过映射
g
将
f(x)
映射到
Z
中的元素
g[f(x)]
。这个新的映射
g
∘
f
就称为映射
f和g的复合映射。
(3)应用
映射在数学及相关领域有着广泛的应用，如用于定义函数。函数是从非空数集到非空数集的映射，而且只能是一对一映射或多对一映射。此外，映射还用于描述各种数学结构之间的关系，如线性变换、同态等。
(4)注意事项
- 映射和函数的关系：函数是映射的一个特例，即函数是两个数集之间的映射，且只能是一对一或多对一映射。但映射的概念更广泛，它可以描述任意两个集合元素之间的对应关系。
- 映射中的元素关系：在映射f:A→B中，集合A中的元素a称为原像，集合B中与a对应的元素b称为像。映射关系可以表示为b=f(a)。
- 映射与集合的关系：映射是两个集合之间的一种特殊关系，它描述了集合A中的元素如何与集合B中的元素相对应。这种对应关系可以是满射、单射或一一映射。
三、函数
(1)函数的定义
- 传统定义
传统定义是从运动变化的观点出发的。设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量。这种定义强调了函数是一种变量间的依赖关系，即一个变量（自变量）的变化会唯一确定另一个变量（因变量）的值。
- 近代定义
近代定义则是从集合、映射的观点出发的。设A、B是两个非空的数的集合，f是从A到B的一个对应法则，那么从A到B的映射f：A→B就叫做函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B。原象集合A叫做函数f(x)的定义域，象集合C（C是B的子集）叫做函数f(x)的值域。这种定义将函数视为一种特殊的映射，即定义域和值域都是数集的映射。
(2)函数的要素
函数概念含有三个要素：定义域A、值域C和对应法则f。
- 定义域A ：自变量x取值的集合，即函数中输入值的集合。它是构成函数的一个不可缺少的组成部分。
- 值域C ：函数值的集合，即与定义域中的元素通过对应法则f得到的所有可能输出的集合。它是值域B的子集。
- 对应法则f ：函数关系的核心，它描述了定义域中的元素如何映射到值域中的元素。对应法则可以是解析式、图像、表格或文字描述等形式。
(3)函数的表示法
函数有多种表示法，常见的包括列表法、图像法和解析法。
- 列表法 ：通过列出函数自变量与对应函数值的表格来表示函数。
- 图像法 ：通过绘制函数图像来表示函数关系，图像上的每一点都对应着函数的一个自变量与函数值的对。
- 解析法 ：用数学表达式（即函数解析式）来表示函数关系，如y=f(x)=ax+b等。
(4)函数的几种特性
1.奇偶性（Oddness and Evenness） ：，
奇函数关于圆点对称，满足 f (− x )=− f ( x )。
偶函数对于Y轴对称，满足 f (− x )= f ( x )。
特别的：
奇±奇 ＝ 奇；偶±偶 ＝ 偶；奇±偶 ＝ 非奇非偶函数；
奇✖÷偶 ＝ 奇；偶✖÷偶 ＝ 偶；奇✖÷奇 ＝ 偶；
2.周期性（Periodicity） ：
如果函数在定义域内的某段区间上，其图像可以沿着x轴平移一定的长度后与原图像重合，则称该函数具有周期性。这个平移的长度称为周期。
3.单调性（Monotonicity） ：
函数在其定义域内的某个区间上，如果随着自变量的增大（或减小），函数值也相应地增大（或减小），则称该函数在这个区间内单调递增（或单调递减）。
单调非增 （Monotonic Non-Increasing）如果对于函数f(x)，在其定义域内的某个区间I上，对于任意两个自变量值x1和x2（满足x1 < x2），都有f(x1) ≥ f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调非增的。
单调非降 （Monotonic Non-Decreasing）如果对于函数 f ( x )，在其定义域内的某个区间 I 上，对于任意两个自变量值 x 1和 x 2（满足 x 1< x 2），都有 f ( x 1)≤ f ( x 2)，则称函数 f ( x )在区间 I 上是单调非降的。
4.连续性（Continuity） ：
如果函数在其定义域内的某一点处，当自变量趋近于该点时，函数值也趋近于该点处的函数值，则称函数在该点处连续。如果函数在其定义域内的每一点都连续，则称该函数在其定义域内连续。
5.可导性（Differentiability） ：
如果函数在某一点处的极限存在，且等于该点处的左右导数，则称函数在该点处可导。与函数的极值、凹凸性等性质密切相关。
可积性6.（Integrability） ：
函数在其定义域内的某个区间上如果存在一个有限的值，使得该区间上所有函数值与该区间长度的乘积之和等于这个有限值，则称该函数在该区间上可积。可积性是研究函数面积、体积等物理量的基础。
7.有界性（Boundedness） ：有界性是函数的一个重要特性，它描述了函数在某个区间上的输出范围。具体来说，若存在两个常数m和M，使得对于函数y=f(x)在其定义域D内的所有x，都有m≤f(x)≤M成立，则称函数y=f(x)在D上有界，其中m称为下界，M称为上界。
有界函数： 设f(x)是区间E上的函数，若对于任意的x属于E，存在常数m、M，使得m≤f(x)≤M，则称f(x)是区间E上的有界函数。
无界函数： 与有界函数相反，若对于任何M（无论M多大），都存在x0∈D，使得|f(x0)|≥M，则称f(x)在D上无界。
① 闭区间上的单调函数必有界；有界函数不一定是单调的。
② 闭区间上的连续函数必有界；有界函数不一定是连续的。 正文
③ 闭区间上的可积函数必有界；有界函数不一定可积（例如狄利克雷函数）。
狄利克雷函数（Dirichlet function）是一个定义在实数范围上的函数，其值域不连续。具体来说，当自变量x为有理数时，函数值为1；当自变量x为无理数时，函数值为0。这个函数可以用分段函数的形式表示为：
定义域{R}；值域{0, 1}；偶函数，满足 D(-x) = D(x)；
狄利克雷函数是周期函数，其周期可以是任意正有理数。然而，由于不存在最小正有理数和负有理数，狄利克雷函数没有最小正周期。
其在定义域内的任何一点都不连续。任何有理数的邻域内都包含无理数，函数值在这些邻域内会频繁地跳跃于0和1之间。
它在任何点都不可导。
狄利克雷函数在任何区间内都是黎曼不可积的，但在勒贝格积分意义下是可积的，且积分值为0（在单位区间[0,1]上以及任意可测子集上）。
(5)反函数与复合函数
1.反函数： 设函数 y
f ( x )的定义域为 D ，值域为 R f 。如果存在一个函数 y
g ( x )，使得对于每一个 y ∈ R f ，都有唯一的 x ∈ D 满足 g ( y )= x ，并且 f ( g ( y ))= y ，那么称函数 y
g ( x )为函数 y
f ( x )的反函数，记作 x
f −1( y )。
性质：
- 原函数与反函数关于y=x对称
如果函数 y
f ( x )的反函数是 x
f −1( y )，那么 f −1( f ( x ))= x （在 f ( x )的定义域内）和 f ( f −1( y ))= y （在 f −1( y )的定义域内）都成立。
求法：
交换原函数 y
f ( x )中的 x 和 y 得到 x
f ( y )。解出 y 关于 x 的表达式，即 y
g ( x )，注意定义域和值域的变化。
2.复合函数： 设函数 y
f ( u )的定义域为 D f ，值域为 R f ；函数 u
g ( x )的定义域为 D g ，值域为 R g 。如果 R g ⊆ D f ，那么由 u
g ( x )和 y
f ( u )可以复合成一个新函数 y
f [ g ( x )]，这个新函数称为函数 y
f ( u )与函数 u
g ( x )的复合函数。
性质：
- 复合函数的定义域是使得内层函数 g ( x )有意义的 x 的集合，并且这个集合中的元素通过 g ( x )得到的值必须在外层函数 f ( u )的定义域内。
- 复合函数的值域是外层函数 f ( u )在由内层函数 g ( x )值域所确定的 u 的取值范围内所取的值的集合。
求法：
- 确定内层函数 g ( x )和外层函数 f ( u )。
将内层函数 g ( x )的表达式代入外层函数 f ( u )中，得到复合函数 y
f [ g ( x )]。- 确定复合函数的定义域。
示例
求反函数：
给定函数 y =2 x +1，求其反函数。
解：交换 x 和 y 得 x =2 y +1，解出 y 得 y =2 x −1，所以反函数为 y
f −1( x )=2 x −1。
求复合函数：
给定函数 y
u 和 u =1− x 2，求复合函数。
解：将 u =1− x 2代入 y
u 得 y =1− x 2，所以复合函数为 y =1− x 2，定义域为[−1,1]。