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2024-11-26-2024华为杯中国研究生数学建模竞赛E题深度剖析_数学建模完整过程详细思路代码全解析

2024“华为杯”中国研究生数学建模竞赛(E题)深度剖析_数学建模完整过程+详细思路+代码全解析

问题1详细解答过程

(1) 交通流参数统计

数据预处理

  1. 数据读取

    从四个视频观测点提取交通流数据,包括每个时间段内的车流量、车速和车道占用率等。

交通流参数计算

计算流量 (Q)

Q ( t )

N ( t ) Δ t Q(t) = \frac{N(t)}{\Delta t}

Q

(

t

)

=

Δ

t

N

(

t

)

其中

N ( t ) N(t)

N

(

t

) 是在时间段

Δ t \Delta t

Δ

t 内通过某个观测点的车辆数。

  1. 计算密度 (K)

    K ( t )

    N ( t ) L K(t) = \frac{N(t)}{L}

    K

    (

    t

    )

    =

    L

    N

    (

    t

    )

    其中

    L L

    L 是路段的长度(例如5000m)。

  2. 计算速度 (V)

    V ( t )

    Q ( t ) K ( t ) V(t) = \frac{Q(t)}{K(t)}

    V

    (

    t

    )

    =

    K

    (

    t

    )

    Q

    (

    t

    )

  3. 时间序列分析

    • 利用统计方法对流量、密度和速度进行时间序列分析。可以绘制流量、密度和速度随时间变化的曲线图。
    • 识别趋势、季节性、周期性和异常值。
(2) 拥堵模型建立

模型假设

  1. 流量和密度关系

假设车辆流量与密度之间的关系遵循某种线性或非线性模型。例如,使用基本的交通流模型:

Q

K ⋅ V Q = K \cdot V

Q

=

K

V

其中

Q Q

Q 是流量,

K K

K 是密度,

V V

V 是速度。

  1. 拥堵阈值
    • 设定一个密度阈值

      K t h r e s h o l d K_{threshold}

      K

      t

      h

      res

      h

      o

      l

      d

      ,当密度超过该值时,即认为可能发生拥堵。

    • 可设定

      K t h r e s h o l d

      0.8 ⋅ K m a x K_{threshold} = 0.8 \cdot K_{max}

      K

      t

      h

      res

      h

      o

      l

      d

      =

      0.8

      K

      ma

      x

      ,其中

      K m a x K_{max}

      K

      ma

      x

      为饱和密度。

实时预警机制

滑动窗口法

  • 设定一个时窗(例如30分钟),在每个时间点

    t t

    t 监测从第三点到第四点的交通流参数。

  1. 预警机制

当监测到密度

K ( t ) K(t)

K

(

t

) 超过

K t h r e s h o l d K_{threshold}

K

t

h

res

h

o

l

d

,且这种状态持续超过10分钟,则系统发出预警。

If  K ( t )

K t h r e s h o l d  for  t

t 0 + 10  minutes, then alert. \text{If } K(t) > K_{threshold} \text{ for } t > t_0 + 10 \text{ minutes, then alert.}

If

K

(

t

)

K

t

h

res

h

o

l

d

for

t

t

0

10

minutes, then alert.

M/G/1 排队理论应用

模型构建

  • 假设车辆到达过程遵循泊松过程,服务时间服从任意分布,建立M/G/1排队模型。

  • 到达率(

    λ \lambda

    λ )和服务率($\mu\))的定义:

λ

Q ( t ) L \lambda = \frac{Q(t)}{L}

λ

=

L

Q

(

t

)

μ

1 E [ S ] \mu = \frac{1}{E[S]}

μ

=

E

[

S

]

1

其中

E [ S ] E[S]

E

[

S

] 为车辆通过某路段的平均服务时间。

  1. 拥堵概率计算

    • 使用M/G/1排队理论,计算系统的稳态性能指标,如平均排队长度

      L q L_q

      L

      q

      和平均等待时间

      W q W_q

      W

      q

    L q

    λ 2 ⋅ E [ S 2 ] 2 ( 1 − ρ ) L_q = \frac{\lambda^2 \cdot E[S^2]}{2(1 - \rho)}

    L

    q

    =

    2

    (

    1

    ρ

    )

    λ

    2

    E

    [

    S

    2

    ]

    W q

    L q λ W_q = \frac{L_q}{\lambda}

    W

    q

    =

    λ

    L

    q

    其中

    ρ

    λ μ \rho = \frac{\lambda}{\mu}

    ρ

    =

    μ

    λ

    为系统利用率。

(3) 模型有效性验证
  1. 数据对比

    • 将模型的预警时间点与实际交通数据对比,记录预警的准确性。
    • 统计误报率(False Positive Rate)和漏报率(False Negative Rate)。
  2. 指标评估

    • 使用准确率(Precision)、召回率(Recall)和F1分数进行模型性能评估。
    • 设定预警模型的有效性标准。
python代码实现
import cv2
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import poisson

# 读取视频数据并计算交通流参数
def read_video_data(video_file):
    cap = cv2.VideoCapture(video_file)
    vehicle_count = []
    frame_count = 0

    while cap.isOpened():
        ret, frame = cap.read()
        if not ret:
            break
        frame_count += 1
        # 假设每帧处理逻辑已经实现,车辆计数放入vehicle_count中
        # vehicle_count.append(process_frame(frame))  # 需要实现process_frame方法
        
    cap.release()
    return vehicle_count

# 计算流量、密度和速度
def calculate_traffic_parameters(vehicle_counts, road_length, delta_t):
    flow = [count / delta_t for count in vehicle_counts]
    density = [count / road_length for count in vehicle_counts]
    speed = [flow[i] / density[i] if density[i] > 0 else 0 for i in range(len(flow))]
    return flow, density, speed

# 拥堵预警模型
def congestion_warning(density, threshold, duration):
    alert_times = []
    for i in range(len(density)):
        if density[i] > threshold:
            if all(density[j] > threshold for j in range(i, min(i + duration, len(density)))):
                alert_times.append(i)
    return alert_times

# M/G/1排队模型计算
def mg1_queue_model(arrival_rate, service_rate):
    rho = arrival_rate / service_rate
    Lq = (arrival_rate**2) / (2 * service_rate * (1 - rho))
    Wq = Lq / arrival_rate
    return Lq, Wq

# 主函数
def main(video_files, road_length, delta_t, congestion_threshold, warning_duration):
    all_vehicle_counts = []
    
    for video_file in video_files:
        vehicle_counts = read_video_data(video_file)
        all_vehicle_counts.append(vehicle_counts)

    flow, density, speed = zip(*[calculate_traffic_parameters(counts, road_length, delta_t) for counts in all_vehicle_counts])
    
    for d in density:
        alerts = congestion_warning(d, congestion_threshold, warning_duration)
        print(f"Alerts for density: {alerts}")

    # 示例参数
    arrival_rate = np.mean(flow)
    service_rate = 1.0  # 假设的服务率
    Lq, Wq = mg1_queue_model(arrival_rate, service_rate)
    
    print(f"Average queue length (Lq): {Lq}, Average waiting time (Wq): {Wq}")
    
    # 绘制流量、密度和速度变化图
    plt.figure(figsize=(15, 5))
    plt.subplot(1, 3, 1)
    plt.plot(flow)
    plt.title('Traffic Flow')
    plt.subplot(1, 3, 2)
    plt.plot(density)
    plt.title('Traffic Density')
    plt.subplot(1, 3, 3)
    plt.plot(speed)
    plt.title('Traffic Speed')
    plt.tight_layout()
    plt.show()

# 设置参数并运行主函数
if __name__ == "__main__":
    video_files = ["video1.mp4", "video2.mp4", "video3.mp4", "video4.mp4"]
    road_length = 5000  # 路段长度
    delta_t = 1  # 时间间隔
    congestion_threshold = 0.8  # 拥堵阈值
    warning_duration = 10  # 持续时间
    main(video_files, road_length, delta_t, congestion_threshold, warning_duration)

问题2详细解答过程

1. 模型构建

目标

  • 建立一个模型,为高速公路应急车道的临时启用提供决策支持,以最小化交通拥堵的影响,优化通行效率。

决策变量

  • 设定决策变量

    x x

    x ,表示是否启用应急车道:

    x

    { 1 启用应急车道 0 不启用应急车道 x = \begin{cases} 1 & \text{启用应急车道} \ 0 & \text{不启用应急车道} \end{cases}

    x

    =

    {

    1

    0

    启用应急车道

    不启用应急车道

参数定义

  • Q ( t ) Q(t)

    Q

    (

    t

    ) :在时间

    t t

    t 的流量(单位:辆/分钟)。

  • K ( t ) K(t)

    K

    (

    t

    ) :在时间

    t t

    t 的密度(单位:辆/km)。

  • V ( t ) V(t)

    V

    (

    t

    ) :在时间

    t t

    t 的速度(单位:km/h)。

  • C C

    C :道路的通行能力(单位:辆/分钟)。

  • T a v g T_{avg}

    T

    a

    vg

    :车辆的平均通过时间(单位:分钟)。

  • T d e l a y T_{delay}

    T

    d

    e

    l

    a

    y

    :车辆因拥堵造成的平均延迟时间(单位:分钟)。

2. 目标函数

最小化延迟

  • 目标是最小化总的延迟时间:

Minimize  T t o t a l

∑ i T d e l a y i ⋅ N i \text{Minimize } T_{total} = \sum_{i} T_{delay}^i \cdot N_i

Minimize

T

t

o

t

a

l

=

i

T

d

e

l

a

y

i

N

i

其中

N i N_i

N

i

为在第

i i

i 个时间段内受到拥堵影响的车辆数。

3. 约束条件

流量与密度约束

  • 应急车道启用的情况下,流量与密度之间的关系可以表示为:

Q ( t )

K ( t ) ⋅ V ( t ) Q(t) = K(t) \cdot V(t)

Q

(

t

)

=

K

(

t

)

V

(

t

)

通行能力约束

  • 道路通行能力限制:

Q ( t ) ≤ C Q(t) \leq C

Q

(

t

)

C

K ( t ) K(t)

K

(

t

) 超过某个阈值(如

K t h r e s h o l d K_{threshold}

K

t

h

res

h

o

l

d

)时,考虑启用应急车道。

延迟计算

  • 在不启用应急车道的情况下,延迟时间可以通过流量和通行能力的关系得到:

T d e l a y

max ⁡ ( 0 , K ( t ) C − 1 ) ⋅ T a v g T_{delay} = \max\left(0, \frac{K(t)}{C} - 1\right) \cdot T_{avg}

T

d

e

l

a

y

=

max

(

0

,

C

K

(

t

)

1

)

T

a

vg

应急车道启用条件

  • 设定条件,当流量接近通行能力时,启用应急车道的决策变量可以表示为:

x

{ 1 if  Q ( t ) ≥ α C 0 otherwise x = \begin{cases} 1 & \text{if } Q(t) \geq \alpha C \ 0 & \text{otherwise} \end{cases}

x

=

{

1

0

if

Q

(

t

)

α

C

otherwise

其中

α \alpha

α 为阈值系数(例如 0.8)。

4. 决策支持系统

模型实施

  • 结合实时监测的数据(流量、密度、速度),使用线性规划或整数规划技术求解:

    Find  x ∗

    arg ⁡ min ⁡ T t o t a l \text{Find } x^* = \arg\min T_{total}

    Find

    x

    =

    ar g

    min

    T

    t

    o

    t

    a

    l

反馈机制

  • 启用应急车道后,实时监测新流量

    Q n e w ( t ) Q_{new}(t)

    Q

    n

    e

    w

    (

    t

    ) 和密度

    K n e w ( t ) K_{new}(t)

    K

    n

    e

    w

    (

    t

    ) ,更新延迟时间

    T d e l a y T_{delay}

    T

    d

    e

    l

    a

    y

    ,根据情况调整决策变量

    x x

    x 。

5. 模型有效性评估

效果评估指标

  • 通过对比启用应急车道前后的平均延迟时间、交通流量变化等指标,评估模型的有效性:

Efficiency Gain

T d e l a y , b e f o r e − T d e l a y , a f t e r T d e l a y , b e f o r e \text{Efficiency Gain} = \frac{T_{delay, before} - T_{delay, after}}{T_{delay, before}}

Efficiency Gain

=

T

d

e

l

a

y

,

b

e

f

ore

T

d

e

l

a

y

,

b

e

f

ore

T

d

e

l

a

y

,

a

f

t

er

统计分析

  • 收集数据,计算各项指标的均值、方差和变化趋势,分析应急车道启用对缓解交通拥堵的作用。
python代码实现
import numpy as np
import pandas as pd
from scipy.optimize import linprog
import matplotlib.pyplot as plt

# 假设数据
def generate_traffic_data(num_time_slots):
    np.random.seed(0)
    flow = np.random.randint(50, 150, size=num_time_slots)
    density = np.random.uniform(0.1, 0.7, size=num_time_slots)
    return flow, density

# 参数设置
road_length = 5000  # 路段长度(米)
delta_t = 1  # 时间间隔(分钟)
capacity = 100  # 道路通行能力(辆/分钟)
alpha = 0.8  # 启用应急车道的阈值系数
avg_delay_time = 5  # 平均通过时间(分钟)

# 延迟计算
def calculate_delay(flow):
    delay = np.maximum(0, (flow / capacity - 1) * avg_delay_time)
    return delay

# 优化模型
def emergency_lane_decision(flow, density):
    num_time_slots = len(flow)
    total_delay = calculate_delay(flow)

    c = total_delay
    A_ub = np.zeros((num_time_slots, num_time_slots))
    b_ub = np.zeros(num_time_slots)

    for i in range(num_time_slots):
        A_ub[i, i] = 1
        if flow[i] >= alpha * capacity:
            b_ub[i] = 1  # 启用应急车道的约束条件

    bounds = [(0, 1) for _ in range(num_time_slots)]
    
    result = linprog(c, A_ub=A_ub, b_ub=b_ub, bounds=bounds, method='highs')
    
    return result

# 主函数
def main():
    num_time_slots = 60  # 假设有60个时间段
    flow, density = generate_traffic_data(num_time_slots)
    
    result = emergency_lane_decision(flow, density)

    print("Optimization Result:")
    if result.success:
        print("Optimal Decision Variables (x):")
        print(result.x)
        print("Total Delay Reduction:", sum(result.x * calculate_delay(flow)))
    else:
        print("Optimization failed.")

    # 可视化
    plt.figure(figsize=(12, 6))
    plt.plot(flow, label='Traffic Flow', color='blue')
    plt.plot(density * capacity, label='Density Capacity', color='orange', linestyle='--')
    plt.axhline(y=alpha * capacity, color='red', linestyle='--', label='Emergency Lane Threshold')
    plt.title('Traffic Flow and Density')
    plt.xlabel('Time Slots')
    plt.ylabel('Vehicles')
    plt.legend()
    plt.show()

if __name__ == "__main__":
    main()

问题3详细解答过程

1. 模型构建

目标

  • 设计一个实时决策模型,根据交通流监测数据自动判断是否需要启用应急车道,以最小化交通拥堵和延迟。

决策变量

  • 设定决策变量

    x x

    x ,表示是否启用应急车道:

    x

    { 1 启用应急车道 0 不启用应急车道 x = \begin{cases} 1 & \text{启用应急车道} \ 0 & \text{不启用应急车道} \end{cases}

    x

    =

    {

    1

    0

    启用应急车道

    不启用应急车道

输入参数

  • Q ( t ) Q(t)

    Q

    (

    t

    ) :在时间

    t t

    t 的流量(单位:辆/分钟)。

  • K ( t ) K(t)

    K

    (

    t

    ) :在时间

    t t

    t 的密度(单位:辆/km)。

  • V ( t ) V(t)

    V

    (

    t

    ) :在时间

    t t

    t 的速度(单位:km/h)。

  • C C

    C :道路的通行能力(单位:辆/分钟)。

  • T a v g T_{avg}

    T

    a

    vg

    :车辆的平均通过时间(单位:分钟)。

  • T d e l a y T_{delay}

    T

    d

    e

    l

    a

    y

    :车辆因拥堵造成的平均延迟时间(单位:分钟)。

  • θ \theta

    θ :拥堵阈值,决定何时启用应急车道(例如,密度超过

    K t h r e s h o l d K_{threshold}

    K

    t

    h

    res

    h

    o

    l

    d

    )。

2. 目标函数

延迟最小化

  • 目标是最小化整体交通延迟:

    Minimize  T t o t a l

    ∑ i T d e l a y i ⋅ N i \text{Minimize } T_{total} = \sum_{i} T_{delay}^i \cdot N_i

    Minimize

    T

    t

    o

    t

    a

    l

    =

    i

    T

    d

    e

    l

    a

    y

    i

    N

    i

其中

N i N_i

N

i

是在第

i i

i 个时间段内受到拥堵影响的车辆数。

3. 约束条件

流量与密度约束

  • 在启用应急车道时,流量与密度之间的关系可以表示为:

    Q ( t )

    K ( t ) ⋅ V ( t ) Q(t) = K(t) \cdot V(t)

    Q

    (

    t

    )

    =

    K

    (

    t

    )

    V

    (

    t

    )

通行能力约束

  • 道路通行能力限制:

    Q ( t ) ≤ C Q(t) \leq C

    Q

    (

    t

    )

    C

K ( t ) K(t)

K

(

t

) 超过阈值时,考虑启用应急车道。

延迟计算

  • 在不启用应急车道的情况下,延迟时间可以通过流量和通行能力的关系得到:

    T d e l a y

    max ⁡ ( 0 , K ( t ) C − 1 ) ⋅ T a v g T_{delay} = \max\left(0, \frac{K(t)}{C} - 1\right) \cdot T_{avg}

    T

    d

    e

    l

    a

    y

    =

    max

    (

    0

    ,

    C

    K

    (

    t

    )

    1

    )

    T

    a

    vg

4. 决策规则

实时决策规则

  • 设定规则:
  1. 监测数据更新 :实时获取流量

    Q ( t ) Q(t)

    Q

    (

    t

    ) 、密度

    K ( t ) K(t)

    K

    (

    t

    ) 和速度

    V ( t ) V(t)

    V

    (

    t

    ) 的数据。

  2. 判断条件 :若

    K ( t )

    K t h r e s h o l d K(t) > K_{threshold}

    K

    (

    t

    )

    K

    t

    h

    res

    h

    o

    l

    d

    ,并且

    Q ( t ) ≥ θ C Q(t) \geq \theta C

    Q

    (

    t

    )

    θC ,则启用应急车道

    x

    1 x = 1

    x

    =

    1 。

  3. 延迟监测 :在启用应急车道后,持续监测交通流的延迟情况。

5. 模型实施与反馈

动态调整

  • 在应急车道启用后,实时更新流量、密度和延迟数据,依据新数据动态调整决策变量

    x x

    x 。

模型验证

  • 通过历史数据和模拟结果验证模型的有效性。对比启用应急车道前后的延迟、流量和密度,评估决策的合理性:

    Efficiency Gain

    T d e l a y , b e f o r e − T d e l a y , a f t e r T d e l a y , b e f o r e \text{Efficiency Gain} = \frac{T_{delay, before} - T_{delay, after}}{T_{delay, before}}

    Efficiency Gain

    =

    T

    d

    e

    l

    a

    y

    ,

    b

    e

    f

    ore

    T

    d

    e

    l

    a

    y

    ,

    b

    e

    f

    ore

    T

    d

    e

    l

    a

    y

    ,

    a

    f

    t

    er

python代码实现
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt

# 假设数据生成函数
def generate_traffic_data(num_time_slots):
    np.random.seed(0)
    flow = np.random.randint(50, 150, size=num_time_slots)
    density = np.random.uniform(0.1, 0.7, size=num_time_slots)
    return flow, density

# 参数设置
road_length = 5000
capacity = 100
avg_delay_time = 5
K_threshold = 0.5
theta = 0.8

# 延迟计算
def calculate_delay(flow):
    delay = np.maximum(0, (flow / capacity - 1) * avg_delay_time)
    return delay

# 决策函数
def emergency_lane_decision(flow, density):
    num_time_slots = len(flow)
    decisions = np.zeros(num_time_slots)

    for t in range(num_time_slots):
        if density[t] > K_threshold and flow[t] >= theta * capacity:
            decisions[t] = 1

    return decisions

# 主函数
def main():
    num_time_slots = 60
    flow, density = generate_traffic_data(num_time_slots)

    decisions = emergency_lane_decision(flow, density)
    delays = calculate_delay(flow)

    print("Flow Data:", flow)
    print("Density Data:", density)
    print("Decisions (1:启用应急车道, 0:不启用):", decisions)
    print("Delays:", delays)

    plt.figure(figsize=(12, 6))
    plt.plot(flow, label='Traffic Flow', color='blue')
    plt.plot(density * capacity, label='Density Capacity', color='orange', linestyle='--')
    plt.axhline(y=K_threshold * capacity, color='red', linestyle='--', label='Density Threshold')
    plt.title('Traffic Flow and Density with Emergency Lane Decisions')
    plt.xlabel('Time Slots')
    plt.ylabel('Vehicles')
    plt.legend()
    plt.show()

if __name__ == "__main__":
    main()

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