2024-11-26-2024华为杯中国研究生数学建模竞赛E题深度剖析_数学建模完整过程详细思路代码全解析
2024“华为杯”中国研究生数学建模竞赛(E题)深度剖析_数学建模完整过程+详细思路+代码全解析
问题1详细解答过程
(1) 交通流参数统计
数据预处理
数据读取 :
从四个视频观测点提取交通流数据,包括每个时间段内的车流量、车速和车道占用率等。
交通流参数计算
计算流量 (Q) :
Q ( t )
N ( t ) Δ t Q(t) = \frac{N(t)}{\Delta t}
Q
(
t
)
=
Δ
t
N
(
t
)
其中
N ( t ) N(t)
N
(
t
) 是在时间段
Δ t \Delta t
Δ
t 内通过某个观测点的车辆数。
计算密度 (K) :
K ( t )
N ( t ) L K(t) = \frac{N(t)}{L}
K
(
t
)
=
L
N
(
t
)
其中
L L
L 是路段的长度(例如5000m)。
计算速度 (V) :
V ( t )
Q ( t ) K ( t ) V(t) = \frac{Q(t)}{K(t)}
V
(
t
)
=
K
(
t
)
Q
(
t
)
时间序列分析 :
- 利用统计方法对流量、密度和速度进行时间序列分析。可以绘制流量、密度和速度随时间变化的曲线图。
- 识别趋势、季节性、周期性和异常值。
(2) 拥堵模型建立
模型假设
- 流量和密度关系 :
假设车辆流量与密度之间的关系遵循某种线性或非线性模型。例如,使用基本的交通流模型:
Q
K ⋅ V Q = K \cdot V
Q
=
K
⋅
V
其中
Q Q
Q 是流量,
K K
K 是密度,
V V
V 是速度。
- 拥堵阈值
:
设定一个密度阈值
K t h r e s h o l d K_{threshold}
K
t
h
res
h
o
l
d
,当密度超过该值时,即认为可能发生拥堵。
可设定
K t h r e s h o l d
0.8 ⋅ K m a x K_{threshold} = 0.8 \cdot K_{max}
K
t
h
res
h
o
l
d
=
0.8
⋅
K
ma
x
,其中
K m a x K_{max}
K
ma
x
为饱和密度。
实时预警机制
滑动窗口法 :
设定一个时窗(例如30分钟),在每个时间点
t t
t 监测从第三点到第四点的交通流参数。
- 预警机制 :
当监测到密度
K ( t ) K(t)
K
(
t
) 超过
K t h r e s h o l d K_{threshold}
K
t
h
res
h
o
l
d
,且这种状态持续超过10分钟,则系统发出预警。
If K ( t )
K t h r e s h o l d for t
t 0 + 10 minutes, then alert. \text{If } K(t) > K_{threshold} \text{ for } t > t_0 + 10 \text{ minutes, then alert.}
If
K
(
t
)
K
t
h
res
h
o
l
d
for
t
t
0
10
minutes, then alert.
M/G/1 排队理论应用
模型构建 :
假设车辆到达过程遵循泊松过程,服务时间服从任意分布,建立M/G/1排队模型。
到达率(
λ \lambda
λ )和服务率($\mu\))的定义:
λ
Q ( t ) L \lambda = \frac{Q(t)}{L}
λ
=
L
Q
(
t
)
μ
1 E [ S ] \mu = \frac{1}{E[S]}
μ
=
E
[
S
]
1
其中
E [ S ] E[S]
E
[
S
] 为车辆通过某路段的平均服务时间。
拥堵概率计算 :
使用M/G/1排队理论,计算系统的稳态性能指标,如平均排队长度
L q L_q
L
q
和平均等待时间
W q W_q
W
q
:
L q
λ 2 ⋅ E [ S 2 ] 2 ( 1 − ρ ) L_q = \frac{\lambda^2 \cdot E[S^2]}{2(1 - \rho)}
L
q
=
2
(
1
−
ρ
)
λ
2
⋅
E
[
S
2
]
W q
L q λ W_q = \frac{L_q}{\lambda}
W
q
=
λ
L
q
其中
ρ
λ μ \rho = \frac{\lambda}{\mu}
ρ
=
μ
λ
为系统利用率。
(3) 模型有效性验证
数据对比 :
- 将模型的预警时间点与实际交通数据对比,记录预警的准确性。
- 统计误报率(False Positive Rate)和漏报率(False Negative Rate)。
指标评估 :
- 使用准确率(Precision)、召回率(Recall)和F1分数进行模型性能评估。
- 设定预警模型的有效性标准。
python代码实现
import cv2
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import poisson
# 读取视频数据并计算交通流参数
def read_video_data(video_file):
cap = cv2.VideoCapture(video_file)
vehicle_count = []
frame_count = 0
while cap.isOpened():
ret, frame = cap.read()
if not ret:
break
frame_count += 1
# 假设每帧处理逻辑已经实现,车辆计数放入vehicle_count中
# vehicle_count.append(process_frame(frame)) # 需要实现process_frame方法
cap.release()
return vehicle_count
# 计算流量、密度和速度
def calculate_traffic_parameters(vehicle_counts, road_length, delta_t):
flow = [count / delta_t for count in vehicle_counts]
density = [count / road_length for count in vehicle_counts]
speed = [flow[i] / density[i] if density[i] > 0 else 0 for i in range(len(flow))]
return flow, density, speed
# 拥堵预警模型
def congestion_warning(density, threshold, duration):
alert_times = []
for i in range(len(density)):
if density[i] > threshold:
if all(density[j] > threshold for j in range(i, min(i + duration, len(density)))):
alert_times.append(i)
return alert_times
# M/G/1排队模型计算
def mg1_queue_model(arrival_rate, service_rate):
rho = arrival_rate / service_rate
Lq = (arrival_rate**2) / (2 * service_rate * (1 - rho))
Wq = Lq / arrival_rate
return Lq, Wq
# 主函数
def main(video_files, road_length, delta_t, congestion_threshold, warning_duration):
all_vehicle_counts = []
for video_file in video_files:
vehicle_counts = read_video_data(video_file)
all_vehicle_counts.append(vehicle_counts)
flow, density, speed = zip(*[calculate_traffic_parameters(counts, road_length, delta_t) for counts in all_vehicle_counts])
for d in density:
alerts = congestion_warning(d, congestion_threshold, warning_duration)
print(f"Alerts for density: {alerts}")
# 示例参数
arrival_rate = np.mean(flow)
service_rate = 1.0 # 假设的服务率
Lq, Wq = mg1_queue_model(arrival_rate, service_rate)
print(f"Average queue length (Lq): {Lq}, Average waiting time (Wq): {Wq}")
# 绘制流量、密度和速度变化图
plt.figure(figsize=(15, 5))
plt.subplot(1, 3, 1)
plt.plot(flow)
plt.title('Traffic Flow')
plt.subplot(1, 3, 2)
plt.plot(density)
plt.title('Traffic Density')
plt.subplot(1, 3, 3)
plt.plot(speed)
plt.title('Traffic Speed')
plt.tight_layout()
plt.show()
# 设置参数并运行主函数
if __name__ == "__main__":
video_files = ["video1.mp4", "video2.mp4", "video3.mp4", "video4.mp4"]
road_length = 5000 # 路段长度
delta_t = 1 # 时间间隔
congestion_threshold = 0.8 # 拥堵阈值
warning_duration = 10 # 持续时间
main(video_files, road_length, delta_t, congestion_threshold, warning_duration)
问题2详细解答过程
1. 模型构建
目标
- 建立一个模型,为高速公路应急车道的临时启用提供决策支持,以最小化交通拥堵的影响,优化通行效率。
决策变量
设定决策变量
x x
x ,表示是否启用应急车道:
x
{ 1 启用应急车道 0 不启用应急车道 x = \begin{cases} 1 & \text{启用应急车道} \ 0 & \text{不启用应急车道} \end{cases}
x
=
{
1
0
启用应急车道
不启用应急车道
参数定义
Q ( t ) Q(t)
Q
(
t
) :在时间
t t
t 的流量(单位:辆/分钟)。
K ( t ) K(t)
K
(
t
) :在时间
t t
t 的密度(单位:辆/km)。
V ( t ) V(t)
V
(
t
) :在时间
t t
t 的速度(单位:km/h)。
C C
C :道路的通行能力(单位:辆/分钟)。
T a v g T_{avg}
T
a
vg
:车辆的平均通过时间(单位:分钟)。
T d e l a y T_{delay}
T
d
e
l
a
y
:车辆因拥堵造成的平均延迟时间(单位:分钟)。
2. 目标函数
最小化延迟
- 目标是最小化总的延迟时间:
Minimize T t o t a l
∑ i T d e l a y i ⋅ N i \text{Minimize } T_{total} = \sum_{i} T_{delay}^i \cdot N_i
Minimize
T
t
o
t
a
l
=
∑
i
T
d
e
l
a
y
i
⋅
N
i
其中
N i N_i
N
i
为在第
i i
i 个时间段内受到拥堵影响的车辆数。
3. 约束条件
流量与密度约束
- 应急车道启用的情况下,流量与密度之间的关系可以表示为:
Q ( t )
K ( t ) ⋅ V ( t ) Q(t) = K(t) \cdot V(t)
Q
(
t
)
=
K
(
t
)
⋅
V
(
t
)
通行能力约束
- 道路通行能力限制:
Q ( t ) ≤ C Q(t) \leq C
Q
(
t
)
≤
C
当
K ( t ) K(t)
K
(
t
) 超过某个阈值(如
K t h r e s h o l d K_{threshold}
K
t
h
res
h
o
l
d
)时,考虑启用应急车道。
延迟计算
- 在不启用应急车道的情况下,延迟时间可以通过流量和通行能力的关系得到:
T d e l a y
max ( 0 , K ( t ) C − 1 ) ⋅ T a v g T_{delay} = \max\left(0, \frac{K(t)}{C} - 1\right) \cdot T_{avg}
T
d
e
l
a
y
=
max
(
0
,
C
K
(
t
)
−
1
)
⋅
T
a
vg
应急车道启用条件
- 设定条件,当流量接近通行能力时,启用应急车道的决策变量可以表示为:
x
{ 1 if Q ( t ) ≥ α C 0 otherwise x = \begin{cases} 1 & \text{if } Q(t) \geq \alpha C \ 0 & \text{otherwise} \end{cases}
x
=
{
1
0
if
Q
(
t
)
≥
α
C
otherwise
其中
α \alpha
α 为阈值系数(例如 0.8)。
4. 决策支持系统
模型实施
结合实时监测的数据(流量、密度、速度),使用线性规划或整数规划技术求解:
Find x ∗
arg min T t o t a l \text{Find } x^* = \arg\min T_{total}
Find
x
∗
=
ar g
min
T
t
o
t
a
l
反馈机制
启用应急车道后,实时监测新流量
Q n e w ( t ) Q_{new}(t)
Q
n
e
w
(
t
) 和密度
K n e w ( t ) K_{new}(t)
K
n
e
w
(
t
) ,更新延迟时间
T d e l a y T_{delay}
T
d
e
l
a
y
,根据情况调整决策变量
x x
x 。
5. 模型有效性评估
效果评估指标
- 通过对比启用应急车道前后的平均延迟时间、交通流量变化等指标,评估模型的有效性:
Efficiency Gain
T d e l a y , b e f o r e − T d e l a y , a f t e r T d e l a y , b e f o r e \text{Efficiency Gain} = \frac{T_{delay, before} - T_{delay, after}}{T_{delay, before}}
Efficiency Gain
=
T
d
e
l
a
y
,
b
e
f
ore
T
d
e
l
a
y
,
b
e
f
ore
−
T
d
e
l
a
y
,
a
f
t
er
统计分析
- 收集数据,计算各项指标的均值、方差和变化趋势,分析应急车道启用对缓解交通拥堵的作用。
python代码实现
import numpy as np
import pandas as pd
from scipy.optimize import linprog
import matplotlib.pyplot as plt
# 假设数据
def generate_traffic_data(num_time_slots):
np.random.seed(0)
flow = np.random.randint(50, 150, size=num_time_slots)
density = np.random.uniform(0.1, 0.7, size=num_time_slots)
return flow, density
# 参数设置
road_length = 5000 # 路段长度(米)
delta_t = 1 # 时间间隔(分钟)
capacity = 100 # 道路通行能力(辆/分钟)
alpha = 0.8 # 启用应急车道的阈值系数
avg_delay_time = 5 # 平均通过时间(分钟)
# 延迟计算
def calculate_delay(flow):
delay = np.maximum(0, (flow / capacity - 1) * avg_delay_time)
return delay
# 优化模型
def emergency_lane_decision(flow, density):
num_time_slots = len(flow)
total_delay = calculate_delay(flow)
c = total_delay
A_ub = np.zeros((num_time_slots, num_time_slots))
b_ub = np.zeros(num_time_slots)
for i in range(num_time_slots):
A_ub[i, i] = 1
if flow[i] >= alpha * capacity:
b_ub[i] = 1 # 启用应急车道的约束条件
bounds = [(0, 1) for _ in range(num_time_slots)]
result = linprog(c, A_ub=A_ub, b_ub=b_ub, bounds=bounds, method='highs')
return result
# 主函数
def main():
num_time_slots = 60 # 假设有60个时间段
flow, density = generate_traffic_data(num_time_slots)
result = emergency_lane_decision(flow, density)
print("Optimization Result:")
if result.success:
print("Optimal Decision Variables (x):")
print(result.x)
print("Total Delay Reduction:", sum(result.x * calculate_delay(flow)))
else:
print("Optimization failed.")
# 可视化
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.plot(flow, label='Traffic Flow', color='blue')
plt.plot(density * capacity, label='Density Capacity', color='orange', linestyle='--')
plt.axhline(y=alpha * capacity, color='red', linestyle='--', label='Emergency Lane Threshold')
plt.title('Traffic Flow and Density')
plt.xlabel('Time Slots')
plt.ylabel('Vehicles')
plt.legend()
plt.show()
if __name__ == "__main__":
main()
问题3详细解答过程
1. 模型构建
目标
- 设计一个实时决策模型,根据交通流监测数据自动判断是否需要启用应急车道,以最小化交通拥堵和延迟。
决策变量
设定决策变量
x x
x ,表示是否启用应急车道:
x
{ 1 启用应急车道 0 不启用应急车道 x = \begin{cases} 1 & \text{启用应急车道} \ 0 & \text{不启用应急车道} \end{cases}
x
=
{
1
0
启用应急车道
不启用应急车道
输入参数
Q ( t ) Q(t)
Q
(
t
) :在时间
t t
t 的流量(单位:辆/分钟)。
K ( t ) K(t)
K
(
t
) :在时间
t t
t 的密度(单位:辆/km)。
V ( t ) V(t)
V
(
t
) :在时间
t t
t 的速度(单位:km/h)。
C C
C :道路的通行能力(单位:辆/分钟)。
T a v g T_{avg}
T
a
vg
:车辆的平均通过时间(单位:分钟)。
T d e l a y T_{delay}
T
d
e
l
a
y
:车辆因拥堵造成的平均延迟时间(单位:分钟)。
θ \theta
θ :拥堵阈值,决定何时启用应急车道(例如,密度超过
K t h r e s h o l d K_{threshold}
K
t
h
res
h
o
l
d
)。
2. 目标函数
延迟最小化
目标是最小化整体交通延迟:
Minimize T t o t a l
∑ i T d e l a y i ⋅ N i \text{Minimize } T_{total} = \sum_{i} T_{delay}^i \cdot N_i
Minimize
T
t
o
t
a
l
=
∑
i
T
d
e
l
a
y
i
⋅
N
i
其中
N i N_i
N
i
是在第
i i
i 个时间段内受到拥堵影响的车辆数。
3. 约束条件
流量与密度约束
在启用应急车道时,流量与密度之间的关系可以表示为:
Q ( t )
K ( t ) ⋅ V ( t ) Q(t) = K(t) \cdot V(t)
Q
(
t
)
=
K
(
t
)
⋅
V
(
t
)
通行能力约束
道路通行能力限制:
Q ( t ) ≤ C Q(t) \leq C
Q
(
t
)
≤
C
当
K ( t ) K(t)
K
(
t
) 超过阈值时,考虑启用应急车道。
延迟计算
在不启用应急车道的情况下,延迟时间可以通过流量和通行能力的关系得到:
T d e l a y
max ( 0 , K ( t ) C − 1 ) ⋅ T a v g T_{delay} = \max\left(0, \frac{K(t)}{C} - 1\right) \cdot T_{avg}
T
d
e
l
a
y
=
max
(
0
,
C
K
(
t
)
−
1
)
⋅
T
a
vg
4. 决策规则
实时决策规则
- 设定规则:
监测数据更新 :实时获取流量
Q ( t ) Q(t)
Q
(
t
) 、密度
K ( t ) K(t)
K
(
t
) 和速度
V ( t ) V(t)
V
(
t
) 的数据。
判断条件 :若
K ( t )
K t h r e s h o l d K(t) > K_{threshold}
K
(
t
)
K
t
h
res
h
o
l
d
,并且
Q ( t ) ≥ θ C Q(t) \geq \theta C
Q
(
t
)
≥
θC ,则启用应急车道
x
1 x = 1
x
=
1 。
延迟监测 :在启用应急车道后,持续监测交通流的延迟情况。
5. 模型实施与反馈
动态调整
在应急车道启用后,实时更新流量、密度和延迟数据,依据新数据动态调整决策变量
x x
x 。
模型验证
通过历史数据和模拟结果验证模型的有效性。对比启用应急车道前后的延迟、流量和密度,评估决策的合理性:
Efficiency Gain
T d e l a y , b e f o r e − T d e l a y , a f t e r T d e l a y , b e f o r e \text{Efficiency Gain} = \frac{T_{delay, before} - T_{delay, after}}{T_{delay, before}}
Efficiency Gain
=
T
d
e
l
a
y
,
b
e
f
ore
T
d
e
l
a
y
,
b
e
f
ore
−
T
d
e
l
a
y
,
a
f
t
er
python代码实现
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
# 假设数据生成函数
def generate_traffic_data(num_time_slots):
np.random.seed(0)
flow = np.random.randint(50, 150, size=num_time_slots)
density = np.random.uniform(0.1, 0.7, size=num_time_slots)
return flow, density
# 参数设置
road_length = 5000
capacity = 100
avg_delay_time = 5
K_threshold = 0.5
theta = 0.8
# 延迟计算
def calculate_delay(flow):
delay = np.maximum(0, (flow / capacity - 1) * avg_delay_time)
return delay
# 决策函数
def emergency_lane_decision(flow, density):
num_time_slots = len(flow)
decisions = np.zeros(num_time_slots)
for t in range(num_time_slots):
if density[t] > K_threshold and flow[t] >= theta * capacity:
decisions[t] = 1
return decisions
# 主函数
def main():
num_time_slots = 60
flow, density = generate_traffic_data(num_time_slots)
decisions = emergency_lane_decision(flow, density)
delays = calculate_delay(flow)
print("Flow Data:", flow)
print("Density Data:", density)
print("Decisions (1:启用应急车道, 0:不启用):", decisions)
print("Delays:", delays)
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.plot(flow, label='Traffic Flow', color='blue')
plt.plot(density * capacity, label='Density Capacity', color='orange', linestyle='--')
plt.axhline(y=K_threshold * capacity, color='red', linestyle='--', label='Density Threshold')
plt.title('Traffic Flow and Density with Emergency Lane Decisions')
plt.xlabel('Time Slots')
plt.ylabel('Vehicles')
plt.legend()
plt.show()
if __name__ == "__main__":
main()
68747470733a2f2f626c6f:672e6373646e2e6e65742f323430315f38323534393434372f:61727469636c652f64657461696c732f313432343133373836