永磁同步电机数学模型
永磁同步电机数学模型
永磁同步电机数学模型
首先建立自然坐标系下的数学模型，介绍坐标变换级数，变换为静止坐标系下和常用的d-q旋转坐标系下的数学模型。
自然坐标系下的数学模型
永磁同步电机的定子与普通电励磁同步电机的定子一样都是三相对称绕组。因此，按照电机惯例规定各物理量的正方向，对永磁同步电机数学模型做以下假设：
(1)忽略电机转子阻尼绕组；
(2)忽略电机运行时磁路饱和，认为磁路线性，电感参数不变；
(3)忽略电机铁心涡流与磁滞损耗；
(4)假设电机三相定子电枢绕组产生的感应电动势为正弦波；
上图为永磁同步电机定转子结构示意图，将其等效到三相坐标系中，该坐标系下的电压矢量方程如下：
[ u A N u B N u C N ]
R [ i A i B i C ] + d d t [ Ψ A Ψ B Ψ C ] \begin{bmatrix}u_{AN }\ u_{BN}\ u_{CN}\ \end{bmatrix}=R\begin{bmatrix}i_A\ i_B\ i_C\ \end{bmatrix}+\frac{d}{dt}\begin{bmatrix}\Psi_A\ \Psi_B\ \Psi_C\ \end{bmatrix}
⎣
⎡
u
A
N
u
B
N
u
C
N
⎦
⎤
=
R
⎣
⎡
i
A
i
B
i
C
⎦
⎤
d
t
d
⎣
⎡
Ψ
A
Ψ
B
Ψ
C
⎦
⎤
其中，
u A N 、 u B N 、 u C N 分 别 为 定 子 三 相 相 电 压 ， i A 、 i B 、 i C 为 定 子 三 相 相 电 流 u_{AN }、 u_{BN}、u_{CN}分别为定子三相相电压，i_A 、 i_B 、 i_C 为定子三相相电流
u
A
N
、
u
B
N
、
u
C
N
分
别
为
定
子
三
相
相
电
压
，
i
A
、
i
B
、
i
C
为
定
子
三
相
相
电
流 ，
Ψ A 、 Ψ B 、 Ψ C 为 定 子 三 相 磁 链 \Psi_A 、 \Psi_B 、\Psi_C 为定子三相磁链
Ψ
A
、
Ψ
B
、
Ψ
C
为
定
子
三
相
磁
链 ， R 为定子相电阻。
PMSM 存在永磁磁链和励磁磁链，磁链方程如下：
[ Ψ A Ψ B Ψ C ]
[ L m [ 1 c o s 2 π / 3 c o s 4 π / 3 c o s 2 π / 3 1 c o s 2 π / 3 cos 4 π / 3 c o s 2 π / 3 1 ] + L n [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] ] [ i A i B i C ] + Ψ f [ sin θ e sin ( θ e − 2 π / 3 ) sin ( θ e + 2 π / 3 ) ] \begin{bmatrix}\Psi_A\ \Psi_B\ \Psi_C\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}L_m\begin{bmatrix}1&cos2\pi/3&cos4\pi/3\\ cos2\pi/3&1&cos2\pi/3\\ \cos4\pi/3&cos2\pi/3&1\\end{bmatrix}+L_n\begin{bmatrix}1&0&0\ 0&1&0\\ 0&0&1\\end{bmatrix}\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_A\ i_B\ i_C\ \end{bmatrix}+\Psi_f\begin{bmatrix}\sin_{\theta e}\ \sin({\theta e}-2\pi/3)\ \sin({\theta e}+2\pi/3)\ \end{bmatrix}
⎣
⎡
Ψ
A
Ψ
B
Ψ
C
⎦
⎤
=
⎣
⎡
L
m
⎣
⎡
1
c
o
s
2
π
/
3
cos
4
π
/
3
c
o
s
2
π
/
3
1
c
o
s
2
π
/
3
c
o
s
4
π
/
3
c
o
s
2
π
/
3
1
⎦
⎤
L
n
⎣
⎡
1
0
0
0
1
0
0
0
1
⎦
⎤
⎦
⎤
⎣
⎡
i
A
i
B
i
C
⎦
⎤
Ψ
f
⎣
⎡
sin
θ
e
sin
(
θ
e
−
2
π
/
3
)
sin
(
θ
e
2
π
/
3
)
⎦
⎤
其中，
Ψ f 为 永 磁 磁 链 ， L m 为 定 子 互 感 ， L n 为 定 子 漏 感 ， θ e \Psi_f 为永磁磁链， L_m 为定子互感， L_n 为定子漏感， \theta_e
Ψ
f
为
永
磁
磁
链
，
L
m
为
定
子
互
感
，
L
n
为
定
子
漏
感
，
θ
e
为转子电角度。
转矩方程及其转矩平衡方程如下：
其中
T e 为 电 机 电 磁 转 矩 ， p 为 电 机 极 对 数 ， B 为 阻 尼 系 数 ， T L 为 负 载 转 矩 ， J 为 转 动 惯 量 ， ω m 为 机 械 角 速 度 T_e为电机电磁转矩， p 为电机极对数， B 为阻尼系数， T_L 为负载转矩，J 为转动惯量，\omega_m 为机械角速度
T
e
为
电
机
电
磁
转
矩
，
p
为
电
机
极
对
数
，
B
为
阻
尼
系
数
，
T
L
为
负
载
转
矩
，
J
为
转
动
惯
量
，
ω
m
为
机
械
角
速
度 。
式（2.5） 为 PMSM 中常用的转换关系，其
ω m 为 电 角 速 度 ， n 为 电 机 转 速 ， θ 0 为 初 始 电 角 度 \omega_m 为电角速度， n 为电机转速，\theta_0为初始电角度
ω
m
为
电
角
速
度
，
n
为
电
机
转
速
，
θ
0
为
初
始
电
角
度 。
坐标变换
上式可以看出在三相坐标系下 PMSM 的数学模型是一组多变量、强耦合的复杂方程，很难根据该模型直接进行调速系统控制器的设计，因此，需要选择适当的坐标变换进行降阶和解耦。
从图 2.3 可以清楚地看出 a -b-c三相坐标系、α-β 静止坐标系和d -q 旋转坐标系的相对位置，进而可以推导出坐标变换的公式。
a -b-c到α-β 坐标系变换（Clark 变换）公式如下：
本文以坐标变换前后电压幅值不变为约束条件时，其系数为 2/3。
Clark 反变换如下：
α-β 静止坐标系到d -q 旋转坐标系变换（Park 变换）公式如下：
反 Park 变换公式如下：
静止坐标系下的数学模型
电压方程：
旋转坐标系下的数学模型
定子电压方程：
其中id 和iq分别为定子电流d 轴和q 轴的分量， ud 和uq 分别为定子电压在d轴和 q 轴的分量， Ld 和 Lq 分别为d 轴和q 轴的等效电感。
电磁转矩方程：
PMSM 的电磁转矩由励磁转矩Tpm 和磁阻转矩Tr两部分组成，其中凸极比 Lq/Ld越高，可利用的磁阻转矩越大。