<think>
好，我现在要解这个二阶常系数线性微分方程：y'' + 2y' + 3y = 0。嗯，让我慢慢想一想。

首先，这个方程看起来是齐次的，也就是说，它没有非齐次项，所以应该可以用特征方程法来解。那什么是特征方程呢？对，应该是把y''替换成r²，把y'替换成r，然后把方程中的y''、y'和y都变为相应的多项式，这样就得到一个关于r的二次方程。

所以，我来代入一下。原来的微分方程是y'' + 2y' + 3y = 0，特征方程就是把y''替换成r²，y'替换成r，y替换成1，所以得到：
r² + 2r + 3 = 0。

接下来，我需要解这个二次方程。用求根公式：r = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a)，这里a=1，b=2，c=3。那代入进去就是：
r = [-2 ± √(4 - 12)] / 2 = [-2 ± √(-8)] / 2。

哎呀，这里有个问题，√(-8)等于多少呢？应该是虚数单位i乘以√8，所以继续计算：
√(-8) = i√8，而√8可以化简为2√2，所以r的两个解就是：
r = [-2 ± 2i√2] / 2。

接下来，我要把这个分母2约掉，得到：
r = -1 ± i√2。

所以，这个微分方程有复数根，形式是α + βi，其中α = -1，β = √2。因为这些根都是复数，所以解的结构应该涉及到指数函数和三角函数。我记得对于这样的根，通解是：
y(t) = e^(α t) [C1 cos(β t) + C2 sin(β t)]，
其中C1和C2是常数，由初始条件决定。

不过，我觉得这不够全面，因为有时候可能还会有实数的指数部分，不过这里根已经是复数了，所以应该直接用这个形式。对吧？

那我再检查一下，特征方程是否正确：r² + 2r +3 =0，没错。解出来的r确实是-1 ± i√2，这样写出通解也是正确的。

不过，我还记得有时候复数根也可以用欧拉公式来表达，但可能这里直接使用指数和正弦、余弦函数更方便一些。

嗯，总结一下，微分方程y'' + 2y' +3y=0的解是：
y(t) = e^(-t)[C1 cos(√2 t) + C2 sin(√2 t)]，
其中C1和C2是任意常数。

不过，为了确保没错，我再检查一下是否有计算错误的地方。首先，特征方程r² + 2r +3=0的判别式D = b² -4ac=4-12=-8，是正确的，所以根是复数。然后代入解的时候也没有问题，得到了r=-1 ± i√2，所以没错。

另外，如果我把这个解带回原微分方程，看看是否满足：
首先计算y = e^(-t)[C1 cos(√2 t) + C2 sin(√2 t)]，
那么y' = -e^(-t)[C1 cos(√2 t) + C2 sin(√2 t)] + e^(-t)[-C1 √2 sin(√2 t) + C2 √2 cos(√2 t)]，
而y''则是[e^(-t)][C1 cos(√2 t) + C2 sin(√2 t)] - 2e^(-t)[C1 cos(√2 t) + C2 sin(√2 t)] + e^(-t)[-C1 (√2)^2 sin(√2 t) - C2 (√2)^2 cos(√2 t)]。

嗯，这可能有点繁琐，不过我可以简化一下计算：

让我更仔细地算一遍导数：
y = e^{-t} (C1 cos(√2 t) + C2 sin(√2 t)),
那么y' = -e^{-t}(C1 cos(√2 t)+C2 sin(√2 t)) + e^{-t}(-C1 √2 sin(√2 t) + C2 √2 cos(√2 t))。
这是因为，导数的计算是：-e^{-t}乘以括号里的部分，加上e^{-t}乘以对cos和sin求导后的项。

然后y''就是：
首先，对y'求导，
= [-e^{-t}(C1 cos + C2 sin) + e^{-t}(-C1 √2 sin + C2 √2 cos)]的导数，
那这部分等于：
-e^{-t}(C1 cos + C2 sin) + [ -e^{-t}(C1 cos + C2 sin) ) 的导数，记得用乘积法则？
不对，其实应该是这样：
y' = (-C1 cos(√2 t) - C2 sin(√2 t)) e^{-t} + (-C1 √2 sin(√2 t) + C2 √2 cos(√2 t)) e^{-t}，
所以y''就是把这两项再次导数：
首先，第一部分是(-C1 cos + -C2 sin)e^{-t},
它的导数是：
[C1 √2 sin(√2 t) - C2 √2 cos(√2 t)] e^{-t} +
+ (-C1 cos + -C2 sin)e^{-t}，
然后第二项是(-C1 √2 sin + C2 √2 cos)e^{-t},
它的导数是：
[ -C1 (√2)^2 cos - C2 (√2)^2 sin ] e^{-t}
+ (-C1 √2 sin + C2 √2 cos) e^{-t}。

这样计算可能比较复杂，换种方式，我是否可以用更系统的方法来代入原方程呢？

另一种方法是，用特征方程法求出通解之后，再验证一下代入是否正确，不过其实已经得到了标准形式，所以或许不需要详细验证了。

或者，假设我有通解y = e^{-t}(C1 cos(√2 t) + C2 sin(√2 t)),
然后带回原方程：y'' + 2y' +3y=0，

计算各个导数：
先算y = e^{-t} (C1 cos + C2 sin),
那么y’ = -e^{-t}(C1 cos + C2 sin) + e^{-t}(-C1 √2 sin + C2 √2 cos),
接下来，y’’ 就是对y’求导：
= [e^{-t}(C1 cos + C2 sin)] - 2(e^{-t})(C1 cos + C2 sin)
+ e^{-t}[ (-C1 (√2)^2 sin - C2 (√2)^2 cos) ]
等一下，这可能太繁琐了，换个思路：

或者，可以利用微分方程的线性性质，将解带入原方程，看看是否等于0。

不过这可能花费比较多时间，我觉得或许可以接受这个通解，因为它来自正确的特征方程，并且步骤是对的，所以应该没问题。

综上所述，这个微分方程y'' + 2y' +3y=0的解是：
y(t) = e^{-t}[C1 cos(√2 t) + C2 sin(√2 t)]，
其中C1和C2由初始条件给出。

所以，我觉得这个过程没问题，得到的通解也是正确的。


**答案**
微分方程 \( y'' + 2y' + 3y = 0 \) 的解为：
\[
y(t) = e^{-t} \left[ C_1 \cos(\sqrt{2} t) + C_2 \sin(\sqrt{2} t) \right]
\]
其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。

所以，最终答案是：
\[
\boxed{y(t) = e^{-t} \left( C_1 \cos(\sqrt{2} t) + C_2 \sin(\sqrt{2} t) \right)}
\]
</think>