几道考研数学题求解

函数性质问题

【题目】

已知函数

f ( x , y )

x 3 + y 3 − ( x + y ) 2 + 3 f(x, y) = x^3 + y^3 - (x+y)^2 + 3

f

(

x

,

y

)

=

x

3

y

3

−

(

x

y

)

2

3 。设

T T

T 为曲面

z

f ( x , y ) z = f(x, y)

z

=

f

(

x

,

y

) 在点

( 1 , 1 , 1 ) (1,1,1)

(

1

,

1

,

1

) 处的切平面，

D D

D 为

T T

T 与坐标平面

x

0 x=0

x

=

0 、

y

0 y=0

y

=

0 、

z

0 z=0

z

=

0 所围成区域在

x y xy

x

y 平面上的投影。

现求解下列题目：

1. T T

   T 的方程

2. f ( x , y ) f(x, y)

   f

   (

   x

   ,

   y

   ) 在

   D D

   D 上的最大值和最小值

【解题过程】

① 求切平面

T T

T 的方程：

a. 计算

f ( 1 , 1 ) f(1,1)

f

(

1

,

1

) ：

f ( 1 , 1 )

1 3 + 1 3 − ( 1 + 1 ) 2 + 3

1 + 1 − 4 + 3

f(1,1) = 1^3 + 1^3 - (1+1)^2 + 3 = 1 + 1 - 4 + 3 = 1.

f

(

1

,

1

)

=

1

3

1

3

−

(

1

1

)

2

3

=

1

1

−

4

3

=

b. 求偏导数：

f x ( x , y )

3 x 2 − 2 ( x + y ) ⇒ f x ( 1 , 1 )

3 − 4

− 1 ; f_x(x,y) = 3x^2 - 2(x+y) \quad \Rightarrow \quad f_x(1,1) = 3 - 4 = -1;

f

x

​

(

x

,

y

)

=

3

x

2

−

2

(

x

y

)

⇒

f

x

​

(

1

,

1

)

=

3

−

4

=

−

1

;

f y ( x , y )

3 y 2 − 2 ( x + y ) ⇒ f y ( 1 , 1 )

3 − 4

− 1. f_y(x,y) = 3y^2 - 2(x+y) \quad \Rightarrow \quad f_y(1,1) = 3 - 4 = -1.

f

y

​

(

x

,

y

)

=

3

y

2

−

2

(

x

y

)

⇒

f

y

​

(

1

,

1

)

=

3

−

4

=

−

c. 应用切平面公式：

z − f ( 1 , 1 )

f x ( 1 , 1 ) ( x − 1 ) + f y ( 1 , 1 ) ( y − 1 ) z - f(1,1) = f_x(1,1)(x - 1) + f_y(1,1)(y - 1)

z

−

f

(

1

,

1

)

=

f

x

​

(

1

,

1

)

(

x

−

1

)

f

y

​

(

1

,

1

)

(

y

−

1

)

z − 1

− ( x − 1 ) − ( y − 1 ) z - 1 = - (x - 1) - (y - 1)

z

−

1

=

−

(

x

−

1

)

−

(

y

−

1

)

即

z

− x − y + 3. z = -x - y + 3.

z

=

−

x

−

y

因此，

T T

T 的方程为

z

− x − y + 3. z = -x - y + 3.

z

=

−

x

−

y

② 确定区域

D D

D ：

T T

T 与坐标平面相交的点为：

A : x

0 , y

0 ⇒ z

3 即 ( 0 , 0 , 3 ) ; A: x=0, y=0 \quad \Rightarrow \quad z = 3 \quad \text{即} (0,0,3);

A

:

x

=

0

,

y

=

0

⇒

z

=

3

即

(

0

,

0

,

3

)

;

B : x

0 , z

0 ⇒ − y + 3

0 得 y

3 即 ( 0 , 3 , 0 ) ; B: x=0, z=0 \quad \Rightarrow \quad -y + 3 = 0 \quad \text{得} y=3 \quad \text{即} (0,3,0);

B

:

x

=

0

,

z

=

0

⇒

−

y

3

=

0

得

y

=

3

即

(

0

,

3

,

0

)

;

C : y

0 , z

0 ⇒ − x + 3

0 得 x

3 即 ( 3 , 0 , 0 ) . C: y=0, z=0 \quad \Rightarrow \quad -x + 3 = 0 \quad \text{得} x=3 \quad \text{即} (3,0,0).

C

:

y

=

0

,

z

=

0

⇒

−

x

3

=

0

得

x

=

3

即

(

3

,

0

,

0

)

.

故在

x y xy

x

y 平面上，

D D

D 为三角形，满足：

D

{ ( x , y ) ∣ x ≥ 0 , y ≥ 0 , x + y ≤ 3 } . D = { (x, y) \mid x \geq 0, y \geq 0, x + y \leq 3 }.

D

=

{(

x

,

y

)

∣

x

≥

0

,

y

≥

0

,

x

y

≤

3

}

.

③ 求

f ( x , y ) f(x, y)

f

(

x

,

y

) 在

D D

D 上的极值：

f ( x , y )

x 3 + y 3 − ( x + y ) 2 + 3. f(x, y) = x^3 + y^3 - (x+y)^2 + 3.

f

(

x

,

y

)

=

x

3

y

3

−

(

x

y

)

2

（1）求内部驻点：

求偏导：

f x

3 x 2 − 2 ( x + y ) , f y

3 y 2 − 2 ( x + y ) . f_x = 3x^2 - 2(x+y), \quad f_y = 3y^2 - 2(x+y).

f

x

​

=

3

x

2

−

2

(

x

y

)

,

f

y

​

=

3

y

2

−

2

(

x

y

)

.

令

f x

0 f_x = 0

f

x

​

=

0 和

f y

0 f_y = 0

f

y

​

=

0 ，可得：

3 x 2

2 ( x + y ) 及 3 y 2

2 ( x + y ) 3x^2 = 2(x+y) \quad \text{及} \quad 3y^2 = 2(x+y)

3

x

2

=

2

(

x

y

)

及

3

y

2

=

2

(

x

y

)

⇒ x 2

y 2 . \Rightarrow x^2 = y^2.

⇒

x

2

=

y

2

. 由

x , y ≥ 0 x, y \geq 0

x

,

y

≥

0 得

x

y . x = y.

x

=

y

.

代入

x + y

2 x x+y = 2x

x

y

=

2

x 得：

3 x 2

4 x ⇒ x ( 3 x − 4 )

3x^2 = 4x \Rightarrow x(3x - 4) = 0.

3

x

2

=

4

x

⇒

x

(

3

x

−

4

)

=

因此，

x

0 x = 0

x

=

0 或

x

4 3 x = \frac{4}{3}

x

=

3

4

​

，对应驻点

( 0 , 0 ) (0,0)

(

0

,

0

) 和

( 4 3 , 4 3 ) (\frac{4}{3},\frac{4}{3})

(

3

4

​

,

3

4

​

) .

计算

f ( 4 3 , 4 3 ) f(\frac{4}{3}, \frac{4}{3})

f

(

3

4

​

,

3

4

​

) ：

( 4 3 ) 3

64 27 , \left(\frac{4}{3}\right)^3 = \frac{64}{27},

(

3

4

​

)

3

=

27

64

​

,

f ( 4 3 , 4 3 )

2 × ( 64 27 ) − ( 8 3 ) 2 + 3 f\left(\frac{4}{3}, \frac{4}{3}\right) = 2 \times \left(\frac{64}{27}\right) - \left(\frac{8}{3}\right)^2 + 3

f

(

3

4

​

,

3

4

​

)

=

2

×

(

27

64

​

)

−

(

3

8

​

)

2

3

= 128 27 − 64 9 + 3 = \frac{128}{27} - \frac{64}{9} + 3

=

27

128

​

−

9

64

​

3

= 128 − 192 + 81 27

17 27 ≈ 0.63. = \frac{128 - 192 + 81}{27} = \frac{17}{27} \approx 0.63.

=

27

128

−

192

81

​

=

27

17

​

≈

0.63.

(注意：点

( 0 , 0 ) (0,0)

(

0

,

0

) 为

D D

D 的顶点，后续将在边界中讨论。)

（2）边界上求值：

(a) 当

x

0 x = 0

x

=

0 （

y ∈ [ 0 , 3 ] y \in [0, 3]

y

∈

[

0

,

3

] ）：

f ( 0 , y )

y 3 − y 2 + 3. f(0, y) = y^3 - y^2 + 3.

f

(

0

,

y

)

=

y

3

−

y

2

求导

3 y 2 − 2 y

0 3y^2 - 2y = 0

3

y

2

−

2

y

=

0 得

y

0 y = 0

y

=

0 或

y

2 3 . y = \frac{2}{3}.

y

=

3

2

​

.

计算

f ( 0 , 0 )

3 ， f ( 0 , 2 3 ) ≈ 2.85 ，及 f ( 0 , 3 )

27 − 9 + 3

f(0,0) = 3，f(0,\frac{2}{3}) \approx 2.85，及 f(0,3) = 27 - 9 + 3 = 21.

f

(

0

,

0

)

=

3

，

f

(

0

,

3

2

​

)

≈

2.85

，及

f

(

0

,

3

)

=

27

−

9

3

=

(b) 当

y

0 y = 0

y

=

0 （

x ∈ [ 0 , 3 ] x \in [0, 3]

x

∈

[

0

,

3

] ）：

同理，

f ( x , 0 )

x 3 − x 2 + 3 f(x,0) = x^3 - x^2 + 3

f

(

x

,

0

)

=

x

3

−

x

2

3 ，其最值在

( 0 , 0 ) (0,0)

(

0

,

0

) 与

( 3 , 0 ) (3,0)

(

3

,

0

) ，其中

f ( 3 , 0 )

f(3,0) = 21.

f

(

3

,

0

)

=

© 当

x + y

3 x + y = 3

x

y

=

3 ：

令

y

3 − x y = 3 - x

y

=

3

−

x ，则

f ( x , 3 − x )

x 3 + ( 3 − x ) 3 − 9 + 3. f(x, 3-x) = x^3 + (3-x)^3 - 9 + 3.

f

(

x

,

3

−

x

)

=

x

3

(

3

−

x

)

3

−

9

化简得

f ( x , 3 − x )

9 x 2 − 27 x + 21. f(x, 3-x) = 9x^2 - 27x + 21.

f

(

x

,

3

−

x

)

=

9

x

2

−

27

x

求导

18 x − 27

0 18x - 27 = 0

18

x

−

27

=

0 得

x

3 2 x = \frac{3}{2}

x

=

2

3

​

，故

y

3 2 y = \frac{3}{2}

y

=

2

3

​

，

进而

f ( 3 2 , 3 2 )

9 × ( 9 4 ) − 27 × ( 3 2 ) + 21

0.75. f\left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right) = 9 \times \left(\frac{9}{4}\right) - 27 \times \left(\frac{3}{2}\right) + 21 = 0.75.

f

(

2

3

​

,

2

3

​

)

=

9

×

(

4

9

​

)

−

27

×

(

2

3

​

)

21

=

0.75.

综上：

全局最大值

f

21 f = 21

f

=

21 ，分别在

( 0 , 3 ) (0,3)

(

0

,

3

) 和

( 3 , 0 ) (3,0)

(

3

,

0

) 取得；

全局最小值

f

17 27 f = \frac{17}{27}

f

=

27

17

​

，取于内部驻点

( 4 3 , 4 3 ) (\frac{4}{3}, \frac{4}{3})

(

3

4

​

,

3

4

​

) .

【最终答案】

1. 切平面

   T T

   T 的方程：

   z

   − x − y + 3. z = -x - y + 3.

   z

   =

   −

   x

   −

   y

4. f ( x , y ) f(x, y)

   f

   (

   x

   ,

   y

   ) 在区域

   D D

   D 上的最大值为

   21 21

   21 ，最小值为

   17 27 \frac{17}{27}

   27

   17

   ​

   .

曲线积分问题

题目

已知向量场

F ( x , y , z )

( 6 x y z − y z 2 , 2 x 2 z , x y z ) F(x,y,z) = (6xyz - yz^2, 2x^2z, xyz)

F

(

x

,

y

,

z

)

=

(

6

x

yz

−

y

z

2

,

2

x

2

z

,

x

yz

) ；设

L L

L 为平面

2 x − z − 1

0 2x - z - 1 = 0

2

x

−

z

−

1

=

0 上的简单闭合曲线，且当从正

z z

z 轴方向观察时，

L L

L 的正向为逆时针。请利用斯托克斯公式将曲线积分

∮ L F ⋅ d r \oint_L F \cdot dr

∮

L

​

F

⋅

d

r

化为曲面积分，并求出

( c u r l   F ) ⋅ n (curl , F) \cdot n

(

c

u

r

l

F

)

⋅

n 的化简表达式，其中

n n

n 为平面

2 x − z − 1

0 2x - z - 1 = 0

2

x

−

z

−

1

=

0 上的单位正法向量。

【解】

设向量场

F

( 6 x y z − y z 2 , 2 x 2 z , x y z ) F = (6xyz - yz^2, 2x^2z, xyz)

F

=

(

6

x

yz

−

y

z

2

,

2

x

2

z

,

x

yz

) 。注意到

L L

L 为封闭曲线，故可用斯托克斯公式，将曲线积分化为曲面积分：

∮ L F ⋅ d r

∬ S ( c u r l F ) ⋅ n d S , \oint_L F \cdot dr = \iint_S (curl F) \cdot n dS,

∮

L

​

F

⋅

d

r

=

∬

S

​

(

c

u

r

lF

)

⋅

n

d

S

,

其中

S S

S 选取平面

2 x − z − 1

0 2x - z - 1 = 0

2

x

−

z

−

1

=

0 上由

L L

L 所围成的区域，并选取单位法向量

n n

n 使得从正

z z

z 轴看（即

n n

n 的

z z

z 分量 > 0）时，

L L

L 的正向为逆时针。

【第一步：计算 curl

F F

F 】

设

P

6 x y z − y z 2 , P = 6xyz - yz^2,

P

=

6

x

yz

−

y

z

2

,

Q

2 x 2 z , Q = 2x^2z,

Q

=

2

x

2

z

,

R

x y z . R = xyz.

R

=

x

yz

.

则有

c u r l F

( ∂ R ∂ y − ∂ Q ∂ z , ∂ P ∂ z − ∂ R ∂ x , ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) . curl F = \left(\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right).

c

u

r

lF

=

(

∂

y

∂

R

​

−

∂

z

∂

Q

​

,

∂

z

∂

P

​

−

∂

x

∂

R

​

,

∂

x

∂

Q

​

−

∂

y

∂

P

​

)

.

计算各分量：

∂ R ∂ y

x z , ∂ Q ∂ z

2 x 2 , \frac{\partial R}{\partial y} = xz, \quad \frac{\partial Q}{\partial z} = 2x^2,

∂

y

∂

R

​

=

x

z

,

∂

z

∂

Q

​

=

2

x

2

, 故

( c u r l F ) x

x z − 2 x 2

x ( z − 2 x ) . (curl F)_x = xz - 2x^2 = x(z - 2x).

(

c

u

r

lF

)

x

​

=

x

z

−

2

x

2

=

x

(

z

−

2

x

)

.

∂ P ∂ z

6 x y − 2 y z , ∂ R ∂ x

y z , \frac{\partial P}{\partial z} = 6xy - 2yz, \quad \frac{\partial R}{\partial x} = yz,

∂

z

∂

P

​

=

6

x

y

−

2

yz

,

∂

x

∂

R

​

=

yz

, 故

( c u r l F ) y

( 6 x y − 2 y z ) − y z

6 x y − 3 y z

3 y ( 2 x − z ) . (curl F)_y = (6xy - 2yz) - yz = 6xy - 3yz = 3y(2x - z).

(

c

u

r

lF

)

y

​

=

(

6

x

y

−

2

yz

)

−

yz

=

6

x

y

−

3

yz

=

3

y

(

2

x

−

z

)

.

∂ Q ∂ x

4 x z , ∂ P ∂ y

6 x z − z 2 , \frac{\partial Q}{\partial x} = 4xz, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = 6xz - z^2,

∂

x

∂

Q

​

=

4

x

z

,

∂

y

∂

P

​

=

6

x

z

−

z

2

, 故

( c u r l F ) z

4 x z − ( 6 x z − z 2 )

z 2 − 2 x z

z ( z − 2 x ) . (curl F)_z = 4xz - (6xz - z^2) = z^2 - 2xz = z(z - 2x).

(

c

u

r

lF

)

z

​

=

4

x

z

−

(

6

x

z

−

z

2

)

=

z

2

−

2

x

z

=

z

(

z

−

2

x

)

.

因而，

c u r l F curl F

c

u

r

lF 可写为：

c u r l F

( x ( z − 2 x ) , 3 y ( 2 x − z ) , z ( z − 2 x ) ) curl F = (x(z - 2x), 3y(2x - z), z(z - 2x))

c

u

r

lF

=

(

x

(

z

−

2

x

)

,

3

y

(

2

x

−

z

)

,

z

(

z

−

2

x

))

=

( z − 2 x ) ⋅ ( x , − 3 y , z ) (z - 2x) \cdot (x, -3y, z)

(

z

−

2

x

)

⋅

(

x

,

−

3

y

,

z

) .

【第二步：选取

S S

S 及确定单位法向量】

S S

S 取平面

2 x − z − 1

0 2x - z - 1 = 0

2

x

−

z

−

1

=

0 。为使

n n

n 的

z z

z 分量 > 0，取平面的法向量为

N

( − 2 , 0 , 1 ) N = (-2, 0, 1)

N

=

(

−

2

,

0

,

1

) ，故单位法向量：

n

( − 2 , 0 , 1 ) 2 2 + 0 2 + 1 2

( − 2 , 0 , 1 ) 5 . n = \frac{(-2, 0, 1)}{\sqrt{2^2 + 0^2 + 1^2}} = \frac{(-2, 0, 1)}{\sqrt{5}}.

n

=

2

2

0

2

1

2

​

(

−

2

,

0

,

1

)

​

=

5

​

(

−

2

,

0

,

1

)

​

.

【第三步：计算

( c u r l F ) ⋅ n (curl F) \cdot n

(

c

u

r

lF

)

⋅

n 】

由上，

( c u r l F ) ⋅ n

( z − 2 x ) ( x , − 3 y , z ) ⋅ ( − 2 , 0 , 1 ) 5

( z − 2 x ) [ − 2 x + z ] 5 . (curl F) \cdot n = (z - 2x)(x, -3y, z) \cdot \frac{(-2, 0, 1)}{\sqrt{5}} = \frac{(z - 2x)[-2x + z]}{\sqrt{5}}.

(

c

u

r

lF

)

⋅

n

=

(

z

−

2

x

)

(

x

,

−

3

y

,

z

)

⋅

5

​

(

−

2

,

0

,

1

)

​

=

5

​

(

z

−

2

x

)

[

−

2

x

z

]

​

.

注意到

− 2 x + z

z − 2 x -2x + z = z - 2x

−

2

x

z

=

z

−

2

x ，因此：

( c u r l F ) ⋅ n

( z − 2 x ) 2 5 . (curl F) \cdot n = \frac{(z - 2x)^2}{\sqrt{5}}.

(

c

u

r

lF

)

⋅

n

=

5

​

(

z

−

2

x

)

2

​

.

在

S S

S 上，由平面方程

2 x − z − 1

0 2x - z - 1 = 0

2

x

−

z

−

1

=

0 得

z

2 x − 1 z = 2x - 1

z

=

2

x

−

1 ，故：

z − 2 x

( 2 x − 1 ) − 2 x

− 1 ⇒ ( z − 2 x ) 2

z - 2x = (2x - 1) - 2x = -1 \quad \Rightarrow \quad (z - 2x)^2 = 1.

z

−

2

x

=

(

2

x

−

1

)

−

2

x

=

−

1

⇒

(

z

−

2

x

)

2

=

因此，

( c u r l F ) ⋅ n

1 5 ( 为常数 ) . (curl F) \cdot n = \frac{1}{\sqrt{5}} \quad (为常数).

(

c

u

r

lF

)

⋅

n

=

5

​

1

​

(

为常数

)

.

【第四步：求

S S

S 的面积】

L L

L 同时是球面

x 2 + y 2 + z 2

2 x x^2 + y^2 + z^2 = 2x

x

2

y

2

z

2

=

2

x 与平面

2 x − z − 1

0 2x - z - 1 = 0

2

x

−

z

−

1

=

0 的交线。将球面改写：

x 2 + y 2 + z 2

2 x ⇒ ( x − 1 ) 2 + y 2 + z 2

1 , x^2 + y^2 + z^2 = 2x \quad \Rightarrow \quad (x - 1)^2 + y^2 + z^2 = 1,

x

2

y

2

z

2

=

2

x

⇒

(

x

−

1

)

2

y

2

z

2

=

1

,

表明球心为

( 1 , 0 , 0 ) (1, 0, 0)

(

1

,

0

,

0

) ，半径

1 1

1 。点

( 1 , 0 , 0 ) (1,0,0)

(

1

,

0

,

0

) 到平面

2 x − z − 1

0 2x - z - 1 = 0

2

x

−

z

−

1

=

0 的距离为

d

∣ 2 ⋅ 1 − 0 − 1 ∣ 5

1 5 . d = \frac{|2 \cdot 1 - 0 - 1|}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}.

d

=

5

​

∣2

⋅

1

−

0

−

1∣

​

=

5

​

1

​

.

故交圆的半径：

R

1 − d 2

1 − 1 5

4 5

2 5 . R = \sqrt{1 - d^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{5}} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}.

R

=

1

−

d

2

​

=

1

−

5

1

​

​

=

5

4

​

​

=

5

​

2

​

.

交圆在平面内的面积为

A r e a ( S )

π R 2

π ( 4 5 )

4 π 5 . Area(S) = \pi R^2 = \pi \left(\frac{4}{5}\right) = \frac{4\pi}{5}.

A

re

a

(

S

)

=

π

R

2

=

π

(

5

4

​

)

=

5

4

π

​

.

【最终计算】

由斯托克斯公式，

∮ L F ⋅ d r

∬ S ( c u r l F ) ⋅ n d S

( 1 5 ) × ( 4 π 5 )

4 π 5 5 . \oint_L F \cdot dr = \iint_S (curl F) \cdot n dS = \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) \times \left(\frac{4\pi}{5}\right) = \frac{4\pi}{5\sqrt{5}}.

∮

L

​

F

⋅

d

r

=

∬

S

​

(

c

u

r

lF

)

⋅

n

d

S

=

(

5

​

1

​

)

×

(

5

4

π

​

)

=

5

5

​

4

π

​

.

【最终答案】曲线积分的值为

4 π 5 5 \frac{4\pi}{5\sqrt{5}}

5

5

​

4

π

​

.

数列问题

【问题描述】

已知数列

{ x n } {x_n}

{

x

n

​

} ,

{ y n } {y_n}

{

y

n

​

} ,

{ z n } {z_n}

{

z

n

​

} 满足初值

$$

x_0 = -1, \quad y_0 = 0, \quad z_0 = 2,

$$

以及递推关系

$$

x_n = -2x_{n-1} + 2z_{n-1},

$$

$$

y_n = -2y_{n-1} - 2z_{n-1},

$$

$$

z_n = -6x_{n-1} - 3y_{n-1} + 3z_{n-1}.

$$

令

α n

( x n y n z n ) \alpha_n = \begin{pmatrix} x_n \ y_n \ z_n \end{pmatrix}

α

n

​

=

​

x

n

​

y

n

​

z

n

​

​

​

，则有递推关系可写成

$$

\alpha_n = A \alpha_{n-1}.

$$

问题要求：（1）写出矩阵

A A

A ；（2）求

A n A^n

A

n 以及

x n x_n

x

n

​

,

y n y_n

y

n

​

,

z n z_n

z

n

​

的通项公式。

【解】

【第一步：构造矩阵

A A

A 】

由递推公式可知：

$$

x_n = (-2)x_{n-1} + 0 \cdot y_{n-1} + 2z_{n-1},

$$

$$

y_n = 0 \cdot x_{n-1} + (-2)y_{n-1} + (-2)z_{n-1},

$$

$$

z_n = (-6)x_{n-1} + (-3)y_{n-1} + 3z_{n-1}.

$$

因此矩阵

A A

A 即为

$$

A = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 2 \ 0 & -2 & -2 \ -6 & -3 & 3 \end{pmatrix}.

$$

【第二步：求

A A

A 的

n n

n 次幂

A n A^n

A

n 】

为了求

A n A^n

A

n ，我们采用对角化的方法。设

A A

A 的特征值为

λ \lambda

λ ，求解

det ⁡ ( A − λ I )

0 \det(A - \lambda I) = 0

det

(

A

−

λ

I

)

=

0 。

1. 写出

   A − λ I A - \lambda I

   A

   −

   λ

   I ：

$$

A - \lambda I = \begin{pmatrix} -2-\lambda & 0 & 2 \ 0 & -2-\lambda & -2 \ -6 & -3 & 3-\lambda \end{pmatrix}.

$$

2. 计算行列式：

$$

\det(A - \lambda I)

= (-2-\lambda) \cdot \det\begin{pmatrix} -2-\lambda & -2 \ -3 & 3-\lambda \end{pmatrix}

• 2 \cdot \det\begin{pmatrix} 0 & -2-\lambda \ -6 & -3 \end{pmatrix}.

$$

其中

$$

\det\begin{pmatrix} -2-\lambda & -2 \ -3 & 3-\lambda \end{pmatrix} = (-2-\lambda)(3-\lambda) - (-2)(-3)

= (\lambda^2 - \lambda - 6) - 6 = \lambda^2 - \lambda - 12,

$$

$$

= (\lambda - 4)(\lambda + 3);

$$

$$

\det\begin{pmatrix} 0 & -2-\lambda \ -6 & -3 \end{pmatrix} = 0 \cdot (-3) - (-2-\lambda)(-6)

= -6(\lambda+2).

$$

因此，

$$

\det(A - \lambda I) = (-2-\lambda)(\lambda-4)(\lambda+3) - 12(\lambda+2).

$$

注意到

− 2 − λ

− ( λ + 2 ) -2-\lambda = -(\lambda+2)

−

2

−

λ

=

−

(

λ

2

) ，可写为

$$

\det(A - \lambda I) = - (\lambda+2)[(\lambda-4)(\lambda+3) + 12].

$$

又有

$$

(\lambda-4)(\lambda+3) = \lambda^2 - \lambda - 12, \quad 所以 \quad (\lambda-4)(\lambda+3) + 12 = \lambda^2 - \lambda.

$$

故，

$$

\det(A - \lambda I) = - (\lambda+2) \lambda (\lambda-1) = 0.

$$

故矩阵

A A

A 的特征值为：

$$

\lambda_1 = 0, \quad \lambda_2 = 1, \quad \lambda_3 = -2.

$$

假设

A A

A 可对角化，则存在可逆矩阵

P P

P 和对角矩阵

D

diag ⁡ ( 0 , 1 , − 2 ) D = \operatorname{diag}(0, 1, -2)

D

=

diag

(

0

,

1

,

−

2

) ，使得

$$

A = P D P^{-1},

$$

从而

$$

A^n = P \cdot \operatorname{diag}(0^n, 1^n, (-2)^n) \cdot P^{-1}.

$$

【第三步：求

x n x_n

x

n

​

,

y n y_n

y

n

​

,

z n z_n

z

n

​

的通项】

设

A A

A 的三个特征向量分别为

v 0 v_0

v

0

​

,

v 1 v_1

v

1

​

,

v − 2 v_{-2}

v

−

2

​

，对应特征值

0 0

0 ,

1 1

1 ,

− 2 -2

−

2 ，满足：

$$

\alpha_n = c_0 \cdot 0^n \cdot v_0 + c_1 \cdot 1^n \cdot v_1 + c_{-2} \cdot (-2)^n \cdot v_{-2}.

$$

下面求各特征向量，并用初值

α 0

( − 1 0 2 ) \alpha_0 = \begin{pmatrix} -1 \ 0 \ 2 \end{pmatrix}

α

0

​

=

​

−

1

0

2

​

​

确定常数

c 0 c_0

c

0

​

,

c 1 c_1

c

1

​

,

c − 2 c_{-2}

c

−

2

​

。

① 对于

λ

0 \lambda = 0

λ

=

0 ：

解

( A − 0 I ) v

0 (A - 0I)v = 0

(

A

−

0

I

)

v

=

0 ，

$$

-2v_1 + 2v_3 = 0 \quad \Rightarrow \quad v_3 = v_1,

$$

$$

-2v_2 - 2v_3 = 0 \quad \Rightarrow \quad v_2 = -v_3 = -v_1.

$$

取

v 1

1 v_1 = 1

v

1

​

=

1 ，则有

$$

v_0 = \begin{pmatrix} 1 \ -1 \ 1 \end{pmatrix}.

$$

② 对于

λ

1 \lambda = 1

λ

=

1 ：

解

( A − I ) v

0 (A - I)v = 0

(

A

−

I

)

v

=

0 ，

方程为

$$

-3v_1 + 2v_3 = 0 \quad \Rightarrow \quad v_3 = \frac{3}{2}v_1,

$$

$$

-3v_2 - 2v_3 = 0 \quad \Rightarrow \quad v_2 = - \frac{2}{3}v_3 = -v_1.

$$

（第三行自动满足）

为去分数，取

v 1

2 v_1 = 2

v

1

​

=

2 ，则

$$

v_1 = \begin{pmatrix} 2 \ -2 \ 3 \end{pmatrix}.

$$

③ 对于

λ

− 2 \lambda = -2

λ

=

−

2 ：

解

( A + 2 I ) v

0 (A + 2I)v = 0

(

A

2

I

)

v

=

0 ，

方程为

$$

0 \cdot v_1 + 2v_3 = 0 \quad \Rightarrow \quad v_3 = 0,

$$

$$

-6v_1 - 3v_2 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2v_1 + v_2 = 0 \quad \Rightarrow \quad v_2 = -2v_1.

$$

取

v 1

1 v_1 = 1

v

1

​

=

1 ，则

$$

v_{-2} = \begin{pmatrix} 1 \ -2 \ 0 \end{pmatrix}.

$$

令

$$

\alpha_0 = c_0 \cdot v_0 + c_1 \cdot v_1 + c_{-2} \cdot v_{-2},

$$

即：

$$

\begin{pmatrix} -1 \ 0 \ 2 \end{pmatrix} = c_0 \cdot \begin{pmatrix} 1 \ -1 \ 1 \end{pmatrix} + c_1 \cdot \begin{pmatrix} 2 \ -2 \ 3 \end{pmatrix} + c_{-2} \cdot \begin{pmatrix} 1 \ -2 \ 0 \end{pmatrix}.

$$

分量方程为：

$$

(1) \quad -1 = c_0 + 2c_1 + c_{-2},

$$

$$

(2) \quad 0 = - c_0 - 2c_1 - 2c_{-2},

$$

$$

(3) \quad 2 = c_0 + 3c_1.

$$

从 (3) 得

c 0

2 − 3 c 1 c_0 = 2 - 3c_1

c

0

​

=

2

−

3

c

1

​

.

代入 (1)：

− 1

( 2 − 3 c 1 ) + 2 c 1 + c − 2 ⇒ c − 2

− 3 + c 1 -1 = (2 - 3c_1) + 2c_1 + c_{-2} \quad \Rightarrow \quad c_{-2} = -3 + c_1

−

1

=

(

2

−

3

c

1

​

)

2

c

1

​

c

−

2

​

⇒

c

−

2

​

=

−

3

c

1

​

.

再代入 (2)：

$$

0 = -(2 - 3c_1) - 2c_1 - 2(-3 + c_1)

= -2 + 3c_1 - 2c_1 + 6 - 2c_1

= 4 - c_1,

$$

从而

c 1

4 c_1 = 4

c

1

​

=

4 .

进而，

$$

c_0 = 2 - 3 \times 4 = -10, \quad c_{-2} = -3 + 4 = 1.

$$

因此，对于

n ≥ 1 n \geq 1

n

≥

1 （注意当

n ≥ 1 n \geq 1

n

≥

1 时，

0 n

0 0^n = 0

0

n

=

0 ），有

$$

\alpha_n = 4 \cdot v_1 + 1 \cdot (-2)^n \cdot v_{-2}.

$$

写出各分量，得：

$$

x_n = 4 \times 2 + 1 \times (-2)^n = 8 + (-2)^n,

$$

$$

y_n = 4 \times (-2) + 1 \times (-2) \cdot (-2)^n = -8 - 2(-2)^n,

$$

$$

z_n = 4 \times 3 + 1 \times 0 = 12.

$$

（同时验证

n

0 n = 0

n

=

0 时：利用

0 0

1 0^0 = 1

0

0

=

1 ，得到 $x_0 = -10+8+1 = -1, y_0 = 10-8-2 = 0, z_0 = -10+12 = 2，与初值一致）

【总结】

1. 矩阵

   A A

   A 为

$$

A = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 2 \ 0 & -2 & -2 \ -6 & -3 & 3 \end{pmatrix}.

$$

2. A A

   A 的

   n n

   n 次幂可表达为

   A n

   P ⋅ diag ⁡ ( 0 n , 1 , ( − 2 ) n ) ⋅ P − 1 A^n = P \cdot \operatorname{diag}(0^n, 1, (-2)^n) \cdot P^{-1}

   A

   n

   =

   P

   ⋅

   diag

   (

   0

   n

   ,

   1

   ,

   (

   −

   2

   )

   n

   )

   ⋅

   P

   −

   1 .

3. 数列通项（对于

   n ≥ 1 n \geq 1

   n

   ≥

   1 ）为：

$$

x_n = 8 + (-2)^n,

$$

$$

y_n = -8 - 2(-2)^n,

$$

$$

z_n = 12.

$$

估计问题

设总体

X X

X 服从

[ 0 , θ ] [0, \theta]

[

0

,

θ

] 上的均匀分布，其中

θ ∈ ( 0 , + ∞ ) \theta \in (0, +\infty)

θ

∈

(

0

,

∞

) 为未知参数，

X 1 , X 2 , ⋯   , X n X_1, X_2, \cdots, X_n

X

1

​

,

X

2

​

,

⋯

,

X

n

​

是来自总体

X X

X 的简单随机样本，记

$ X(n) = \max { X_1, X_2, \cdots, X_n }, \quad T_c = cX(n). $

(1) 求

c c

c ，使得

T c T_c

T

c

​

是

θ \theta

θ 的无偏估计；

(2) 记

h ( c )

E ( T c − θ ) 2 h(c) = E(T_c - \theta)^2

h

(

c

)

=

E

(

T

c

​

−

θ

)

2 ，求

c c

c 使得

h ( c ) h(c)

h

(

c

) 最小。

—————— 解答 —————

首先，由于

X i ∼ U ⁡ ( 0 , θ ) X_i \sim \operatorname{U}(0, \theta)

X

i

​

∼

U

(

0

,

θ

) ，记

Y

X ( n ) Y=X(n)

Y

=

X

(

n

) 为样本最大值，其累积分布函数为

$$

F_Y(y) = \left(\frac{y}{\theta}\right)^n, \quad 0\le y\le\theta,

$$

故其概率密度函数为

$$

f_Y(y) = \frac{d}{dy}F_Y(y) = \frac{n}{\theta n}y {n-1}, \quad 0\le y\le\theta.

$$

【(1) 求无偏估计】

计算

Y Y

Y 的均值：

$$

E(Y) = \int_0^\theta y \frac{n}{\theta n}y {n-1},dy

= \frac{n}{\theta n}\int_0 \theta y^n,dy

= \frac{n}{\theta^n} \cdot \frac{\theta^{n+1}}{n+1}

= \frac{n}{n+1}\theta.

$$

由于估计量

T c

c Y T_c = cY

T

c

​

=

c

Y 要无偏，即需满足

$$

E(T_c)= cE(Y)= c\frac{n}{n+1}\theta = \theta,

$$

从而解得

$$

c = \frac{n+1}{n}.

$$

【(2) 求最小均方误差】

计算均方误差：

$$

h© = E[(cY-\theta)^2]

= c 2E(Y 2) - 2c\theta E(Y) + \theta^2.

$$

同样地，可计算

$$

E(Y^2) = \int_0^\theta y 2\frac{n}{\theta n}y^{n-1},dy

= \frac{n}{\theta n}\int_0 \theta y^{n+1},dy

= \frac{n}{\theta^n} \cdot \frac{\theta^{n+2}}{n+2}

= \frac{n}{n+2}\theta^2.

$$

代入上式得

$$

h© = c 2\frac{n}{n+2}\theta 2 - 2c\frac{n}{n+1}\theta^2 + \theta^2

= \theta 2\left(c 2\frac{n}{n+2} - 2c\frac{n}{n+1} + 1\right).

$$

令关于

c c

c 的表达式取极值，对

c c

c 求导并置零：

$$

\frac{d}{dc} \left(c^2\frac{n}{n+2} - 2c\frac{n}{n+1} + 1\right)

= 2c\frac{n}{n+2} - 2\frac{n}{n+1} = 0.

$$

解得

$$

c = \frac{n+2}{n+1}.

$$

—————— 结论 —————

(1) 当

c

n + 1 n c=\frac{n+1}{n}

c

=

n

n

1

​

时，

T c T_c

T

c

​

为

θ \theta

θ 的无偏估计；

(2) 当

c

n + 2 n + 1 c=\frac{n+2}{n+1}

c

=

n

1

n

2

​

时，均方误差

h ( c ) h(c)

h

(

c

) 取得最小值。

求解该题：

已知函数

f ( x )

∫ 0 x e cos ⁡ t   d t f(x) = \int_0^x e^{\cos t} , dt

f

(

x

)

=

∫

0

x

​

e

c

o

s

t

d

t ，

g ( x )

∫ 0 sin ⁡ x e t 2   d t g(x) = \int_0^{\sin x} e^{t^2} , dt

g

(

x

)

=

∫

0

s

i

n

x

​

e

t

2

d

t ，则（ ）

A.

f ( x ) f(x)

f

(

x

) 是奇函数，

g ( x ) g(x)

g

(

x

) 是偶函数

B.

f ( x ) f(x)

f

(

x

) 是偶函数，

g ( x ) g(x)

g

(

x

) 是奇函数

C.

f ( x ) f(x)

f

(

x

) 与

g ( x ) g(x)

g

(

x

) 均为奇函数

D.

f ( x ) f(x)

f

(

x

) 与

g ( x ) g(x)

g

(

x

) 均为周期函数

【解答过程】：

1. 先判断

   f ( x ) f(x)

   f

   (

   x

   ) 的性质：

   • f ( − x )

     ∫ 0 − x e cos ⁡ t   d t

     − ∫ 0 x e cos ⁡ ( − t )   d t

     − ∫ 0 x e cos ⁡ t   d t

     − f ( x ) f(-x) = \int_0^{-x} e^{\cos t} , dt = -\int_0^x e^{\cos (-t)} , dt = -\int_0^x e^{\cos t} , dt = -f(x)

     f

     (

     −

     x

     )

     =

     ∫

     0

     −

     x

     ​

     e

     c

     o

     s

     t

     d

     t

     =

     −

     ∫

     0

     x

     ​

     e

     c

     o

     s

     (

     −

     t

     )

     d

     t

     =

     −

     ∫

     0

     x

     ​

     e

     c

     o

     s

     t

     d

     t

     =

     −

     f

     (

     x

     )

   • 因此，

     f ( x ) f(x)

     f

     (

     x

     ) 是奇函数。

2. 再判断

   g ( x ) g(x)

   g

   (

   x

   ) 的性质：

   • g ( − x )

     ∫ 0 sin ⁡ ( − x ) e t 2   d t

     ∫ 0 − sin ⁡ x e t 2   d t

     − ∫ 0 sin ⁡ x e t 2   d t

     − g ( x ) g(-x) = \int_0^{\sin (-x)} e^{t^2} , dt = \int_0^{-\sin x} e^{t^2} , dt = -\int_0^{\sin x} e^{t^2} , dt = -g(x)

     g

     (

     −

     x

     )

     =

     ∫

     0

     s

     i

     n

     (

     −

     x

     )

     ​

     e

     t

     2

     d

     t

     =

     ∫

     0

     −

     s

     i

     n

     x

     ​

     e

     t

     2

     d

     t

     =

     −

     ∫

     0

     s

     i

     n

     x

     ​

     e

     t

     2

     d

     t

     =

     −

     g

     (

     x

     )

   • 因此，

     g ( x ) g(x)

     g

     (

     x

     ) 也是奇函数。

综上所述，正确答案是 C.

f ( x ) f(x)

f

(

x

) 与

g ( x ) g(x)

g

(

x

) 均为奇函数。

声明

本文解答由AI生成，并经答案校对皆正确。