数据结构单调栈

2025-03-03 约 927 字预计阅读 2 分钟

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数据结构——单调栈

一.单调栈简介

1.1单调栈定义与特性

本质：单调栈是一种特殊的栈结构，其内部元素始终保持 单调递增 或 单调递减 的顺序。
核心规则 ：当新元素入栈时，会通过 弹出破坏单调性的栈顶元素 来维持有序性。
单调方向 ：
单调递增栈 ：从栈底到栈顶，元素逐渐变大（例如 [1,3,5,7][1,3,5,7]）。
单调递减栈 ：从栈底到栈顶，元素逐渐变小（例如 [9,6,2,1][9,6,2,1]）。

1.2 应用场景

单调栈擅长解决 “边界查找”问题，即快速找到数组中某个元素 左侧或右侧 第一个比它大（或小） 的元素

1.3时间复杂度

通过一次遍历 O(n)即可解决问题 ，而暴力解法通常需要 O(n²) 。

1.4. 原理

例如：使用 10 3 7 4 12 构造一个单调递增栈。

二.例题《发射站》

2.1题目描述

2.2思路

只要求出 每个发射站 i 接收到的能量总和 tot[i] ，就能求出 最大值 了。

每个单调栈向左右两个方向发射的能量，只会分别最多被一个发射站接收

因此可以考虑求出 每个发射站发射的能量被谁接收 ，这样就能统计 tot 数组 了。

这个 过程分两步 进行：

求出 每个发射站向左发射的能量被谁接收

求出 每个发射站向右发射的能量被谁接收

每个发射站向左发射的能量被谁接收 ：

也就是 左边第一个大于当前值的位置

维护一个从栈底到栈顶单调递减的单调栈 ，从前往后 **枚举每个放射站并将其高度插入到

单调栈中** 。

可以发现，在将 **栈顶所有比 i 的高度小的发射站出栈之后（参考单调栈的插入操作），

新的栈顶就是接收 i 向左发射的能量的发射站。**

**在维护单调栈的过程中，有些发射站在维护单调性的过程中被出栈了

这些被出栈的发射站是否会接收到 i 后面的发射站发来的能量？**

不会

，因为 h[i]已经比这些发射站要高了，

所以 i 之后的发射站发来的能量就算这些发射站高度符合，也会被 i 挡住，因为 i 也一定符合高度要求

。

如何求出每个发射站向右发射的能量被谁接收？

倒序枚举发射站 n~1，同样维护一个栈底到栈顶单调递减的栈

2.3AC代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a[1000005],v[1000005],ans[1000005],maxx;
stack<int> st,tmp;
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>a[i]>>v[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        while(!st.empty()&&a[st.top()]<=a[i]){
            st.pop();
        }
        if(!st.empty()&&a[st.top()]>a[i]){
            ans[st.top()]+=v[i];
        }
        st.push(i);
    }
    st=tmp;
    for(int i=n;i>=1;i--){
        while(!st.empty()&&a[st.top()]<=a[i]){
            st.pop();
        }
        if(!st.empty()&&a[st.top()]>a[i]){
            ans[st.top()]+=v[i];
        }
        st.push(i);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(maxx<ans[i]){
            maxx=ans[i];
        }
    }
    cout<<maxx;
    return 0;
}

2.4AC代码(2)

如果我们 一次单调栈操作 ， 直接维护两个信息 呢？

得到：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a[1000005],v[1000005],ans[1000005],maxx;
stack<int> st;
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>a[i]>>v[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        while(!st.empty()&&a[st.top()]<=a[i]){
            ans[i]+=v[st.top()];
            st.pop();
        }
        if(!st.empty()){
            ans[st.top()]+=v[i];
        }
        st.push(i);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(maxx<ans[i]){
            maxx=ans[i];
        }
    }
    cout<<maxx;
    return 0;
}

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