考研数一复习之拉格朗日中值定理求解函数极限

2025-03-06 约 1872 字预计阅读 4 分钟

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考研数一复习之拉格朗日中值定理求解函数极限

最近在复习考研数学,只是简单做题过于乏味,因此便总结了一些笔记,后续若有空,也会将自己的复习笔记分享出来。本篇，我们将重点讲解拉格朗日中值定理在求解函数极限中的应用。同时,作者本人作为python领域创作者，还将在本文分享使用sympy求解高数中函数极限的方法,自此,日后的学习中除了desmos绘制图像外,我们又多了一个来验算我们求解极限结果是否正确的工具了。

极限考点

就一元函数极限来说,其在数一中常见的考点如下:

其中,无论是数列还是函数,极限值的求解往往是每年必出的题目。

函数极限求解技巧

函数极限性质
重要极限
等价无穷小
洛必达法则
拉格朗日中值定理
泰勒公式

这里要说明的是，在求解极限时，根据自变量的取值,我们可以将其分为： 自变量趋于无穷大的极限 , 自变量趋于0的极限 以及 自变量趋于有限值x0 的极限这三类。但是，实际上这三类在数一函数极限考察的范围内，最后统统都可以转换为自变量趋于0的极限。

$https://latex.csdn.net/eq?%5Clim_%7Bx%5Cto%5Cinfty%7Df%28x%29%3D%5Clim_%7Bt%5Cto0%7D%20f%28%5Cfrac%7B1%7D%7Bt%7D%29$

$\lim_{x\to\ x_{0}}f(x-x_{0})=\lim_{t\to0}f(t),t=x-x_0$

这是因为函数极限的求解中只有当自变量x趋于0时，泰勒公式才可以使用。而泰勒公式又是上边六种方法中的重点考察对象。毫不夸张地说，整个高数上册的极限都是围绕它所展开,实际上，数一中的函数极限题目，只要你愿意，没有什么是泰勒展开一下解决不了的。

拉格朗日中值定理回顾

拉格朗日中值定理:

设在闭区间上连续,在开区间内可导,则至少存在一点 $\varepsilon\in (a,b)$

使 $f(b)-f(a)={f}’(\varepsilon )(b-a)$ .

说明

拉格朗日中值定理的几何意义实际上就是若连续曲线，在点 , 之间的每一点处都有不垂直于x轴的切线 (函数在开区间内可导), 则曲线在A,B之间至少存在一点 $P(\epsilon ,f(\epsilon ))$ 使得该点处的切线与割线AB平行 , 即二者斜率相等。

拉格朗日中值定理拓展到化简函数极限

设三函数都满足拉格朗日中值定理成立条件,那么：

$\lim_{x\rightarrow x_0}f(g(x))-f(h(x))=\lim_{x\rightarrow x_0}{f}’(\epsilon )(g(x)-h(x))$

其中, $\epsilon$ 介于 $\lim_{\rightarrow x_0}h(x)$ 与 $\lim_{x\rightarrow x_0}g(x)$ 之间。

注意,若 $\lim_{x\rightarrow x0}{f}’(\epsilon )=C$ ，C为任意不为0常数，那么直接将其替换为C即可。

若 $\lim_{x\rightarrow x_0}\varepsilon=0$ 且 $\lim_{x\rightarrow x_0}f’(\varepsilon)=0$ 或 $\infty$ ,那么 ${f}’(\epsilon )$ 可以看做关于x的函数,接着使用等价无穷小或泰勒公式展开来计算其结果。

以上便是拉格朗日定理求解函数极限的精髓。这里要注意的是，拉格朗日中值定理主要用来化简极限，并不能直接求解极限。

常见误区

在使用拉格朗日中值定理 ‘化简’ 极限时，有三个坑要避开,主要集中在:

原极限形式上不满足能够使用拉格朗日中值定理的样式。
$\lim_{x\rightarrow x0}{f}’(\epsilon )$ 极限结果为0或无穷时的处理方法。
g(x)与h(x)不能为同一个函数的简单线性变换,比如g(x)=2x,h(x)=x。

例题

例子是最好的学习工具，接下来我将分享四道题目来阐明这一定理的常见误区,并给出每一步的详细结果。最后，我们还将使用python中的sympy库来求解上述四道极限题目来验证我们求解结果正确与否。

f’(ξ)极限结果=0,需要考虑替换为x后等价无穷小或泰勒公式求解:

$https://latex.csdn.net/eq?%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%200%7D%5Cfrac%7B%5Ccos%28%5Csin%28x%29%29%20-%5Ccos%28x%29%7D%7Bx%5E%7B4%7D%7D$

解：原式= $https://latex.csdn.net/eq?%5Clim_%7Bx%5Crightarrow0%7D%5Cfrac%7B%28x-%5Csin%28x%29%29%5Csin%28%5Cepsilon%29%7D%7Bx%5E%7B4%7D%7D$

其中 $https://latex.csdn.net/eq?x-%5Csin%28x%29%5Csim%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7Dx%5E%7B3%7D$

原式= $https://latex.csdn.net/eq?%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%200%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D%5Cfrac%7B%5Csin%28%5Cvarepsilon%20%29%7D%7Bx%7D$

其中, $\lim_{x\rightarrow 0}\varepsilon$ 介于 $\lim_{x\rightarrow 0}x$ 与 $\lim_{x\rightarrow 0}\sin(x)$ 之间
即 $\lim_{x\rightarrow 0}\sin(\varepsilon)=\lim_{x\rightarrow 0}\sin(x)$

原式= $https://latex.csdn.net/eq?%5Clim_%7Bx%20%5Crightarrow%200%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D%5Cfrac%7B%5Csin%28x%29%7D%7Bx%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D$

sympy验证:

import sympy as sp
'''
sp.limit()函数参数详解:
e:极限表达式,使用定义过的变量和sp.函数名来书写
z:极限自变量
z0:极限自变量趋于的值
dir:左极限还是右极限,用'+','-'表示
'''
#定义x与y这两个符号变量
x=sp.Symbol('x')
y=sp.Symbol('y')
#极限表达式
expression=(sp.cos(sp.sin(x))-(sp.cos(x)))/(x**4)
print(f'原式极限={sp.limit(e=expression,z=x,z0=0)}')#使用sp.limit求解

结果:

f’(ξ)极限结果=C(C≠0),直接带入

$https://latex.csdn.net/eq?%5Clim_%7Bx%5Cto0%7D%5Cfrac%7Be%5E%7Bx%5E2%7D-e%5E%7B2-2%5Ccos%28x%29%7D%7D%7Bx%5E4%7D$

原式= $https://latex.csdn.net/eq?%5Clim_%7Bx%5Cto0%7D%5Cfrac%7Bx%5E2-%282-2%5Ccos%28x%29%29%7D%7Bx%5E4%7De%5E%7B%5Cvarepsilon%20%7D$

原式= $https://latex.csdn.net/eq?%5Clim_%7Bx%5Cto0%7D%5Cfrac%7Bx%5E2+2%5Ccos%28x%29-2%7D%7Bx%5E4%7De%5E%5Cvarepsilon$

原式= $https://latex.csdn.net/eq?%5Clim_%7Bx%5Cto0%7D%5Cfrac%7Bx%5E2+2%281-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E2+%5Cfrac%7B1%7D%7B24%7Dx%5E4+O%28x%5E4%29%29-2%7D%7Bx%5E4%7De%5E%7B%5Cvarepsilon%20%7D$

原式= $https://latex.csdn.net/eq?%5Clim_%7Bx%5Cto0%7D%20%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B12%7Dx%5E4+O%28x%5E4%29%7D%7Bx%5E4%7De%5E%7B%5Cvarepsilon%20%7D$

原式= $https://latex.csdn.net/eq?%5Clim_%7Bx%5Cto0%7D%20%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B12%7Dx%5E4+O%28x%5E4%29%7D%7Bx%5E4%7D*%5Clim_%7Bx%5Cto0%7De%5E%7B%5Cvarepsilon%7D$

其中, $\lim_{x\to0}\varepsilon$ 介于 $\lim_{x\to0}x^2$ 与 $\lim_{x\to0}2-2\cos(x)$ 之间
即 $\lim_{x\to0}e^{\varepsilon}=e^{0}=1$

原式= $https://latex.csdn.net/eq?%5Clim_%7Bx%5Cto0%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B12%7D*1$

原式= $https://latex.csdn.net/eq?%5Cfrac%7B1%7D%7B12%7D$

sympy验证

import sympy as sp
x=sp.Symbol('x')
sp.init_printing()#latex格式,分数输出后更好看一些
expressions=(sp.exp(x**2)-sp.exp(2-2*sp.cos(x)))/x**4
result=sp.limit(expressions,x,0)
result

结果：

f’(ξ)极限结果=无穷,需要考虑替换为x后等价无穷小或泰勒公式求解:

. $https://latex.csdn.net/eq?%5Clim_%7Bx%5Cto0%7D%5Cfrac%7Bx%5Ex-%28sinx%29%5Ex%7D%7Bx%5E2arctanx%7D$

错误做法：

注意到分子上的函数形式上应为幂函数,且 $(a^x)’=\ln(a)a^x$

原式= $https://latex.csdn.net/eq?%5Clim_%7Bx%5Cto0%7D%5Cfrac%7Bx%5Ex-%28%5Csin%29%5Ex%7D%7Bx%5E3%7D$

原式= $https://latex.csdn.net/eq?%5Clim_%7Bx%5Cto0%7D%5Cfrac%7Bx-%5Csin%28x%29%7D%7Bx%5E3%7D%5Cvarepsilon%5E%5Cvarepsilon%5Cln%28%5Cvarepsilon%29$

其中， $https://latex.csdn.net/eq?x-%5Csin%28x%29%5Csim%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7Dx%5E%7B3%7D$

原式= $https://latex.csdn.net/eq?%5Clim_%7Bx%5Cto0%7D%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7Dx%5E3%7D%7Bx%5E3%7D%5Cvarepsilon%5E%5Cvarepsilon%5Cln%28%5Cvarepsilon%29$

其中, $\lim_{x\to0}\varepsilon$ 介于 $\lim_{x\to0}x$ 与 $\lim_{x\to0}\sin(x)$ 之间
即 $\lim_{x\to0}\varepsilon=0$

原式= $https://latex.csdn.net/eq?%5Clim_%7Bx%5Cto0%7D%5Cfrac%7B1%7D6%7B%7D%5Cvarepsilon%5E%5Cvarepsilon%5Cln%28%5Cvarepsilon%29$

$\infty$

正确做法: 原式= $https://latex.csdn.net/eq?lim_%7Bx%5Cto0%7D%5Cfrac%7Be%5E%7Bxln%28x%29%7D-e%5E%7Bxln%28sinx%29%7D%7D%7Bx%5E3%7D$

原式= $https://latex.csdn.net/eq?lim_%7Bx%5Cto0%7D%5Cfrac%7Be%5E%7Bxlnx%7D-1-%28e%5E%7Bx%5Cln%28sin%28x%29%7D-1%29%7D%7Bx%5E3%7D$

原式= $https://latex.csdn.net/eq?lim_%7Bx%5Cto0%7D%5Cfrac%7Bxln%28x%29-xln%28sinx%29%7D%7Bx%5E3%7D$

原式= $https://latex.csdn.net/eq?lim_%7Bx%5Cto0%7D%5Cfrac%7Bln%28x%29-ln%28sinx%29%7D%7Bx%5E2%7D$

原式= $https://latex.csdn.net/eq?lim_%7Bx%5Cto0%7D%5Cfrac%7Bx-sinx%7D%7Bx%5E2%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cvarepsilon%7D$

其中, $\lim_{x\to0}\varepsilon$ 介于 $\lim_{x\to0}x$ 与 $\lim_{x\to0}\sin(x)$ 之间
即 $\lim_{x\to0}\varepsilon=\lim_{x\to0}x=0$

原式= $https://latex.csdn.net/eq?lim_%7Bx%5Cto0%7D%5Cfrac%7Bx-sinx%7D%7Bx%5E2%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D$

原式= $https://latex.csdn.net/eq?lim_%7Bx%5Cto0%7D%5Cfrac%7Bx-sinx%7D%7Bx%5E3%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D$

sympy验证:

import sympy as sp
sp.init_printing()
x=sp.Symbol('x')
expression=(x**x-sp.sin(x)**x)/(x**2*sp.atan(x))
result=sp.limit(expression,x,0)
result

结果

错误做法错在过早的使用拉格朗日中值定理化简极限表达式,导致 $f’(\varepsilon)$ 极限结果难于化简变形。

无法使用拉格朗日中值定理化简情形

$https://latex.csdn.net/eq?%5Clim_%7Bx%5Cto0%7D%5Cfrac%7Bcos%282x%29-cos%28x%29%7D%7Bx%5E2%7D$

错误做法:

原式= $https://latex.csdn.net/eq?%5Clim_%7Bx%5Cto0%7D%5Cfrac%7B2x-x%7D%7Bx%5E2%7D-%5Csin%28%5Cvarepsilon%29$

其中, $\lim_{x\to0}\varepsilon$ 介于 $\lim_{x\to0}x$ 与 $\lim_{x\to0}\sin(x)$ 之间
即 $\lim_{x\to0}\varepsilon=\lim_{x\to0}x=0$

原式= $https://latex.csdn.net/eq?%5Clim_%7Bx%5Cto0%7D%5Cfrac%7B-x%5E2%7D%7Bx%5E2%7D$ =-1

正确做法:

洛必达:

原式= $https://latex.csdn.net/eq?%5Clim_%7Bx%5Cto0%7D%5Cfrac%7B-2sin%282x%29+sin%28x%29%7D%7B2x%7D$

原式= $https://latex.csdn.net/eq?%5Clim_%7Bx%5Cto0%7D%5Cfrac%7B-4cos%282x%29+cos%28x%29%7D%7B2%7D$

原式= $https://latex.csdn.net/eq?%5Clim_%7Bx%5Cto0%7D%5Cfrac%7B-4+1%7D%7B2%7D%3D-%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D$

等价无穷小:

原式= $https://latex.csdn.net/eq?%5Clim_%7Bx%5Cto0%7D%5Cfrac%7Bcos%282x%29-1+1-cos%28x%29%7D%7Bx%5E2%7D$

原式= $https://latex.csdn.net/eq?%5Clim_%7Bx%5Cto0%7D%5Cfrac%7B-2x%5E2+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E2%7D%7Bx%5E2%7D$

原式= $https://latex.csdn.net/eq?%5Clim_%7Bx%5Cto0%7D-%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%3D-%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D$

sympy验证:

import sympy as sp
sp.init_printing()
x=sp.Symbol('x')
expression=(sp.cos(2*x)-sp.cos(x))/(x**2)
result=sp.limit(expression,x,0)
result

结果：

出现这种错误的原因我们前边提到过,f{x)内部嵌套的函数g(x)与h(x)不能为同一类型函数的线性变换,如果直接使用,极有可能出错！

总结

以上便是使用拉格朗日中值定理化简极限时所有需要注意的地方，看完这篇文章，我相信你又将掌握一个求极限的利器。

目录

考研数一复习之拉格朗日中值定理求解函数极限

考研数一复习之拉格朗日中值定理求解函数极限

极限考点

函数极限求解技巧

拉格朗日中值定理回顾

拉格朗日中值定理拓展到化简函数极限

常见误区

例题

f’(ξ)极限结果=0,需要考虑替换为x后等价无穷小或泰勒公式求解:

f’(ξ)极限结果=C(C≠0),直接带入

f’(ξ)极限结果=无穷,需要考虑替换为x后等价无穷小或泰勒公式求解:

原式=

无法使用拉格朗日中值定理化简情形

总结

原式= $https://latex.csdn.net/eq?%5Clim_%7Bx%5Cto0%7D%5Cfrac%7B1%7D6%7B%7D%5Cvarepsilon%5E%5Cvarepsilon%5Cln%28%5Cvarepsilon%29$