控制系统分类
控制系统分类
自治系统/非自治系统、线性系统/非线性系统和仿射系统是控制系统理论中常见的分类方式，它们从不同的角度描述了系统的动态特性。
定义与特点
1. 自治系统（Autonomous System）与非自治系统（Non-Autonomous System）
自治系统
定义：系统的动态行为不显式依赖于时间
t t
t 。
数学表达：
x ˙
f ( x ) \dot{x} = f(x)
x
˙
=
f
(
x
)
特点：
- 系统的轨迹在相空间中不会相交。
- 平衡点是常数解，稳定性可以通过李雅普诺夫函数分析。
- 常见于物理系统（如无外力作用的质点系统）和生物系统（如种群增长模型）。
非自治系统
定义：系统的动态行为显式依赖于时间
t t
t 。
数学表达：
x ˙
f ( x , t ) \dot{x} = f(x, t)
x
˙
=
f
(
x
,
t
)
特点：
- 系统的轨迹可能随时间变化而相交。
- 平衡点可能是时间的函数，稳定性分析更为复杂。
- 常见于受周期性外力作用的系统、随时间变化的经济系统等。
注：一个误区，系统是自治还是非自治并不能根据系统有输入或者无输入来判断 。
如果受控系统
x ˙
f ( x , u ) \dot x=f(x,u)
x
˙
=
f
(
x
,
u
) 的输入
u
g ( x ) u=g(x)
u
=
g
(
x
) 只是关于状态的函数，那么受控系统是自治的；
如果受控系统
x ˙
f ( x , u ) \dot x=f(x,u)
x
˙
=
f
(
x
,
u
) 的输入
u
g ( x , t ) u=g(x,t)
u
=
g
(
x
,
t
) 是显式依赖于时间的，那么受控系统是非自治的。
2. 线性系统（Linear System）与非线性系统（Nonlinear System）
线性系统
定义：系统的动态行为满足线性叠加原理——齐次性和可加性。
数学表达：
x ˙
A x + B u \dot{x} = Ax + Bu
x
˙
=
A
x
B
u
特点：
- 输出与输入呈线性关系。
- 可以通过线性代数和拉普拉斯变换等工具进行分析。
- 稳定性分析相对简单，通常可以通过极点配置等方法实现。
- 常见于电路系统、简单的机械振动系统等。
非线性系统
定义：系统的动态行为不满足线性叠加原理。
数学表达：
x ˙
f ( x , u ) \dot{x} = f(x, u)
x
˙
=
f
(
x
,
u
)
特点：
- 输出与输入存在非线性关系。
- 可能出现混沌、分叉等复杂现象。
- 稳定性分析通常需要借助数值方法或近似方法。
- 常见于生态系统、经济系统、复杂机械系统等。
3. 仿射系统（Affine System）
定义：仿射系统是一种特殊的非线性系统，其动态方程可以表示为线性部分与非线性部分的组合。
数学表达：
x ˙
A x + f ( x ) + B u \dot{x} = Ax + f(x) + Bu
x
˙
=
A
x
f
(
x
)
B
u
其中，
A x + B u Ax + Bu
A
x
B
u 是线性部分，
f ( x ) f(x)
f
(
x
) 是非线性部分。
特点：
- 仿射系统在形式上介于线性系统和非线性系统之间。
- 线性部分可以通过线性控制理论进行分析，而非线性部分需要借助非线性方法。
- 常见于实际工程系统中，如机器人控制系统、航空航天系统等。
4. 受控系统（Controlled System）和非受控系统（Uncontrolled System）
受控系统
定义：受控系统是指存在外部控制输入
u u
u ，并且系统的动态行为可以通过控制输入
u u
u 进行调节或改变的系统。控制输入
u u
u 是系统外部施加的信号，用于实现系统的期望行为，例如稳定系统、跟踪目标轨迹或优化性能指标。
数学表达
x ˙ ( t )
f ( x , u ) \dot{x}(t) = f(x, u)
x
˙
(
t
)
=
f
(
x
,
u
)
特点：
受控系统的一个重要特性是可控性（Controllability），即通过适当的控制输入
u u
u ，系统可以从一个状态转移到另一个状态。
由于存在控制输入
u u
u ，受控系统可以通过外部信号实现多种期望的行为，例如稳定系统、跟踪目标轨迹或优化性能指标。
受控系统在工程、自动化、航空航天、机器人等领域有广泛应用，因为这些领域通常需要通过外部控制实现系统的精确调节。
非受控系统
定义：非受控系统是指不存在外部控制输入
u u
u ，系统的动态行为完全由其内部状态决定的系统。在这种系统中，系统的演化是自主的，不受外部输入的直接影响。
数学表达
x ˙ ( t )
f ( x ) \dot{x}(t) = f(x)
x
˙
(
t
)
=
f
(
x
)
特点：
- 非受控系统的动态行为完全由其内部状态决定，不受外部输入的直接影响。系统的演化是自主的，通常用于描述自然现象或不需要外部干预的系统。
- 非受控系统的分析主要集中在系统的稳定性上，即系统是否能够自行稳定到某个平衡点。稳定性分析通常通过李雅普诺夫方法或其他分析工具进行。
- 非受控系统在物理学、生物学和经济学等领域有广泛应用，例如自然系统的演化、种群增长模型等。
总结
自治系统与非自治系统 ：主要区别在于系统动态行为是否显式依赖于时间
t t
t 。
线性系统与非线性系统 ：主要区别在于系统动态行为是否满足线性叠加原理。
仿射系统 ：是一种特殊的非线性系统，包含线性部分和非线性部分，其动态行为可以是自治的或非自治的，具体取决于非线性部分是否显式依赖于时间。
受控系统与非受控系统 ：主要区别在于系统动态是否存在外部控制输入
u u
u ，系统的动态行为是否可以通过
u u
u 进行调节。
| 系统类型 | 时间依赖性 | 线性/非线性 | 典型表达式 | 特点 |
|---|---|---|---|---|
| 自治系统 | 时间无关 | 线性或非线性 | x ˙ = f ( x ) \dot{x} = f(x) x ˙ = f ( x ) | 轨迹不相交，稳定性分析相对简单 |
| 非自治系统 | 时间相关 | 线性或非线性 | x ˙ = f ( x , t ) \dot{x} = f(x, t) x ˙ = f ( x , t ) | 轨迹可能相交，稳定性分析复杂 |
| 线性系统 | 时间无关或时间相关 | 线性 | x ˙ = A x + B u \dot{x} = Ax + Bu x ˙ = A x + B u | 输出与输入线性关系，分析简单 |
| 非线性系统 | 时间无关或时间相关 | 非线性 | x ˙ = f ( x , u ) \dot{x} = f(x, u) x ˙ = f ( x , u ) | 可能出现复杂现象，分析复杂 |
| 仿射系统 | 时间无关或时间相关 | 非线性 | x ˙ = A x + f ( x ) + B u \dot{x} = Ax + f(x) + Bu x ˙ = A x + f ( x ) + B u | 结合线性与非线性特性 |