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HDU-2610-解题报告

HDU 2610 解题报告

HDU 2610 解题报告


1. 问题描述

给定一个整数序列 ( a_1, a_2, \dots, a_n ),要求生成所有长度为 k 的递增子序列,并按照字典序输出。如果子序列的总数超过 p ,则只输出前 p 个。


2. 解题思路
  1. DFS 搜索

    • 从序列的每个位置开始,尝试生成递增子序列。
    • 使用递归实现 DFS,每次选择一个符合条件的元素加入当前子序列。
  2. 剪枝优化

    • 如果当前子序列的长度已经达到 k ,则直接输出。
    • 如果已经输出的子序列数量达到 p ,则停止搜索。
  3. 去重处理

    • 记录每一层选择的元素,避免重复生成相同的子序列。
  4. 字典序保证

    • 对序列进行排序,确保生成的子序列是递增的。

3. 算法实现

以下是基于 DFS 的完整代码实现:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1000;

int n, k, p; // n 是序列长度,k 是子序列长度,p 是最大输出数量
int a[N];    // 存储输入的序列
int t = 0;   // 记录已经输出的子序列数量

// DFS 函数
// pos: 当前搜索的起始位置
// len: 当前子序列的长度
// cur: 当前子序列的字符串表示
void dfs(int pos, int len, string cur) {
    if (t >= p) return; // 如果已经输出足够多的子序列,直接返回

    if (len == k) { // 如果当前子序列长度等于 k
        t++;        // 增加已输出子序列数量
        for (char ch : cur) { // 输出子序列
            cout << ch << " ";
        }
        cout << endl;
        return;
    }

    int last = -1; // 记录上一层选择的元素,避免重复
    for (int i = pos; i < n; i++) { // 从 pos 开始搜索
        if (len == 0 || a[i] > (cur[len - 1] - '0')) { // 如果满足递增条件
            if (a[i] == last) continue; // 如果当前元素与上一层选择的元素相同,则跳过
            last = a[i];               // 更新上一层选择的元素
            dfs(i + 1, len + 1, cur + char(a[i] + '0')); // 递归搜索
        }
    }
}

int main() {
    cin >> n >> k >> p;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> a[i];
    }
    sort(a, a + n); // 对序列排序,确保生成的子序列是递增的

    dfs(0, 0, ""); // 从第 0 个位置开始搜索

    return 0;
}

4. 代码解释
  1. DFS 函数

    • pos :当前搜索的起始位置。
    • len :当前子序列的长度。
    • cur :当前子序列的字符串表示。
    • 如果 len == k ,则输出当前子序列。
    • 如果 t >= p ,则停止搜索。
  2. 剪枝条件

    • 如果当前子序列的长度已经达到 k ,则直接输出。
    • 如果已经输出的子序列数量达到 p ,则停止搜索。
  3. 去重处理

    • 使用 last 变量记录上一层选择的元素。如果当前元素与 last 相同,则跳过,避免重复生成相同的子序列。
  4. 字典序保证

    • 对序列 a 进行排序,确保生成的子序列是递增的。

5. 示例输入与输出
输入 1:
5 3 10
1 2 3 4 5
输出 1:
1 2 3 
1 2 4 
1 2 5 
1 3 4 
1 3 5 
1 4 5 
2 3 4 
2 3 5 
2 4 5 
3 4 5 
输入 2:
4 2 5
1 1 2 2
输出 2:
1 1 
1 2 
2 2 

6. 复杂度分析
  1. 时间复杂度
    • 最坏情况下,子序列的总数为 ( C(n, k) ),但由于剪枝和去重优化,实际运行时间会大大减少。
  2. 空间复杂度
    • 主要用于递归栈,空间复杂度为 ( O(n) )。

7. 优化与扩展
  1. 进一步去重

    • 如果序列中有重复元素,可以在排序后使用 unique 函数去除重复元素,进一步减少搜索空间。
  2. 并行化

    • 如果 nk 较大,可以将 DFS 搜索任务分配到多个线程中并行执行。
  3. 动态规划

    • 可以使用动态规划的方法预计算所有可能的子序列,但空间复杂度较高,适用于 n 较小的情况。

8. 总结

通过 DFS 和剪枝优化,我们可以高效地生成所有长度为 k 的递增子序列,并按照字典序输出。代码逻辑清晰,易于理解和扩展。去重处理和剪枝优化显著减少了搜索空间,提高了算法效率。