基于PyTorch的深度学习3——非标量反向传播

以下内容由大语言模型生成：

张量，边代表从输入到输出的操作。当我们对一个标量调用 backward() 函数时，PyTorch能够直接计算该标量关于参与运算的所有张量的梯度。这是因为导数的概念最开始是针对标量值定义的。

为什么需要传入gradient参数？

当你有一个非标量（即形状不为1的张量）并希望对其求导时，实际上你是在尝试计算这个张量关于某些变量的雅可比矩阵（Jacobian Matrix）。然而，PyTorch并不直接支持这种操作，因为它复杂化了自动微分的流程。为了简化这个问题，PyTorch要求在这种情况下提供一个额外的 gradient 参数，这个参数同样是一个张量，并且其形状必须与调用 backward() 的那个张量相同。这个 gradient 实际上扮演了一个“权重”的角色，用于将多维导数的问题转化为标量导数的问题。

如何理解这个过程？

考虑你的例子：假设你有一个损失向量 loss=(y_1, y_2, ..., y_m) ，你想要根据它来更新一些模型参数。由于 loss 不是一个标量，你不能直接对它调用 backward() 。这时，你可以引入一个向量 v=(v_1, v_2, ..., v_m) ，然后将 loss 与 v 进行点乘得到一个新的标量 loss*v^T （这里 v^T 表示 v 的转置，虽然在实际代码中我们不会这样写，这只是为了表达数学概念）。这个新生成的标量可以被用来调用 backward() 方法，从而触发梯度的计算。

具体来说，这样做实际上是计算了 loss 的雅可比矩阵与 v 的乘积。换句话说，原本你需要计算的是雅可比矩阵，但现在通过点乘转换后，你只需计算一个标量关于所需变量的梯度。这使得PyTorch的自动微分机制能够处理这种情况，而不需要直接支持张量对张量的求导。

1)定义叶子节点及计算节点。

import torch

#定义叶节点张量x，形状为1x2
x=torch.tensor([[2.3]],dtype=torch.float,requires_grad=True)

#初始化Jacobian矩阵
J=torch.zeros(2,2)

#初始化目标张量，形状为1x2
y=torch.zeros(1,2)

#定义y与x之间的映射关系：
#y1=x1**2+3*x2,y2=x2**2+2*x1
y[0,0]=x[0,0]**2+3*x[0,1]
y[0,1]=x[0,1]**2+2*x[0,0]

2)手工计算y对x的梯度

y对x的梯度是一个雅可比矩阵，可以通过手动计算值

#生成y1对x的梯度
y.backward(torch.Tensor([[1, 0]]),retain_graph=True)
##gradient的作用：传入的gradient张量扮演了一个权重的角色，它决定了每个元素在最终梯度计算中的重要
##本质上，这是将雅可比矩阵乘以这个gradient向量，从而将多维导数的问题简化为一维标量导数的问题。

J[0]=x.grad

#梯度是累加的，故需要对x的梯度清零
x.grad = torch.zeros_like(x.grad)

#生成y2对x的梯度
y.backward(torch.Tensor([[0, 1]]))

J[1]=x.grad
#显示jacobian矩阵的值
print(J)