每日算法：力扣343.整数差分（动态规划）

题目：

给定一个正整数 n ，将其拆分为 k 个 正整数 的和（ k >= 2 ），并使这些整数的乘积最大化。

返回 你可以获得的最大乘积 。

示例 1:

输入: n = 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。

示例 2:

输入: n = 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。

提示:

• 2 <= n <= 58

分析：根据题目要求，一个数可被差分为它的子数，然后子数乘积中取最大值。

则当j <= i 时，有 i = j * (i-j);

那么，这样就是最优解了吗？显然，当数比较小时，这样一般是对的，但是当数比较大时呢？

那么，我们可以先从小的开始分析：

我们先设立一个dp数组，数组中用于存放每个数子数乘积的最大值。

则最小子问题为：

dp[1] = 1;

dp[2] = 1;

dp[3] = 2;

那么，从4开始，我们就需要开始差分了，并且，将每次的最大值保存到数组中，那么很显然，如果当前的j*（i-j）不是最大值，难么(i-j)这个数的最大值就被保存在dp[i-j]这个下标的数组中，因此我们可以取jdp[i-j];然后，取最大值，则有 dp[i] = max(dp[i],max(j(i-j),j*dp[i-j]));

至此，状态转移方程推导完毕。

代码：

class Solution {
public:
    int dp[100];
    int integerBreak(int n) {
    //预处理最小子问题
        dp[1] = 1;    
        dp[2] = 1;
        dp[3] = 2;
        for(int i = 4;i <= n;i++){//第一层循环，遍历1-n的所有数
            for(int j = 1;j <= i;j++){//第二层循环，遍历这个数可被差分的数
                dp[i] = max(dp[i],max(j*(i-j),j*dp[i-j]));//比较：当前的子数乘积和其继续差分的乘积，取最大值 
            }
        }
        return dp[n];
    }
};