数字图像处理第二章-2.3-2.4-图像传感获取与数字化学习笔记-最近邻插值双线性插值双三次插值

2025-03-11 约 2389 字预计阅读 5 分钟

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《数字图像处理》第二章 2.3-2.4 图像传感获取与数字化学习笔记-最近邻插值、双线性插值、双三次插值

请注意: 笔记内容片面粗浅，请读者批判着阅读 ！

一、图像传感与获取的工程实现

1. 三大传感器类型对比

传感器类型	工作原理	典型应用场景	数学建模
单传感器	机械扫描逐点采集	高精度文档扫描仪	f ( x , y ) = ∑ s ( t ) δ ( x − x ( t ) ) f(x,y) = \sum s(t)δ(x-x(t)) f ( x , y ) = ∑ s ( t ) δ ( x − x ( t ))
条带传感器	线阵传感器+运动合成	卫星遥感、工业流水线	g ( t ) = ∫ y = 0 H s ( x , y ) d y g(t) = \int_{y=0}^H s(x,y)dy g ( t ) = ∫ y = 0 H s ( x , y ) d y
阵列传感器	CMOS/CCD平面光电转换	手机摄影、监控摄像头	I i j = Φ ( E i j ⋅ Δ t ) I_{ij} = \Phi(E_{ij} \cdot Δt) I ij = Φ ( E ij ⋅ Δ t )

注：CMOS传感器量子效率曲线（图2.20）显示其在550nm（绿光）处达到峰值65%

2. 图像形成模型

光学系统简化模型 ：
g ( x , y )
h ( x , y ) ∗ f ( x , y ) + η ( x , y ) g(x,y) = h(x,y) * f(x,y) + \eta(x,y)
g
(
x
,
y
)
=
h
(
x
,
y
)
∗
f
(
x
,
y
)

(

)

h ( x , y ) h(x,y)

(

) 为点扩散函数，

η \eta

η 为传感器噪声（服从泊松分布）。

二、图像数字化：采样与量化

1. 采样：从连续到离散

奈奎斯特临界采样实验

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 生成含高频正弦信号
x = np.linspace(0, 4*np.pi, 1000)
signal = np.sin(20*x) + 0.5*np.sin(50*x)  # 最高频率50Hz

# 临界采样（100Hz）与欠采样（30Hz）
t_critical = np.arange(0, 4*np.pi, 0.02)  # 100Hz > 2*50Hz
t_under = np.arange(0, 4*np.pi, 0.033)    # 30Hz < 2*50Hz

plt.figure(figsize=(12,4))
plt.plot(x, signal, 'b-', label='原始信号')
plt.stem(t_critical, np.interp(t_critical, x, signal), 'g', label='临界采样')
plt.stem(t_under, np.interp(t_under, x, signal), 'r', label='欠采样')
plt.title("奈奎斯特采样定理验证"), plt.legend()
plt.show()

输出结论：欠采样信号出现低频混叠（红色），验证采样定理重要性

另外说一句，如何中文显示方框或乱码的，加入下面语句即可。

from pylab import mpl
# 设置显示中文字体
mpl.rcParams["font.sans-serif"] = ["SimHei"]
# 设置正常显示符号
mpl.rcParams["axes.unicode_minus"] = False

2. 量化：从连续到分级

医疗影像高位深量化必要性（模拟）

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from pylab import mpl
# 设置显示中文字体
mpl.rcParams["font.sans-serif"] = ["SimHei"]
# 设置正常显示符号
mpl.rcParams["axes.unicode_minus"] = False

# 生成16-bit合成医学影像（模拟肺部CT）
def generate_synthetic_ct(size=512):
    x, y = np.meshgrid(np.linspace(-5, 5, size), np.linspace(-5, 5, size))
    # 基础组织模拟
    img = 30000 * np.exp(-(x ** 2 + y ** 2))  # 正态分布背景
    # 添加血管结构（细微灰度变化）
    vessels = 5000 * np.abs(np.sin(10 * x) * np.cos(8 * y))
    # 模拟微小病变（直径10像素，Δ=200 HU）
    lesion = 200 * (np.sqrt((x - 1) ** 2 + (y - 1) ** 2) < 0.1)
    return (img + vessels + lesion).astype(np.uint16)


original = generate_synthetic_ct()
quantized = (original // 256).astype(np.uint8)  # 量化到8-bit


def apply_ct_window(img, window_level=30000, window_width=40000):
    """将16-bit DICOM映射到8-bit显示范围"""
    min_val = window_level - window_width // 2
    max_val = window_level + window_width // 2
    img_clipped = np.clip(img, min_val, max_val)
    return ((img_clipped - min_val) / (max_val - min_val) * 255).astype(np.uint8)


# 正确显示16-bit图像（使用肺窗：WL=30000, WW=40000）
display_16bit = apply_ct_window(original)
display_8bit = quantized

plt.subplot(121), plt.imshow(display_16bit, cmap='gray'), plt.title('16-bit（病变可见）')
plt.subplot(122), plt.imshow(display_8bit, cmap='gray'), plt.title('8-bit（病变丢失）')
plt.show()

三、插值算法对比与代码实现

插值算法是一种通过已知数据点预测未知数据的方法。在科学计算、图像处理和工程应用中，插值算法被广泛应用于数据拟合和信号处理。

1. 三种经典插值算法数学原理

三种经典插值算法数学原理对比表

算法	数学表达式	计算复杂度	适用场景
最近邻插值	f ( x , y ) = f ( round ( x ) , round ( y ) ) f(x,y) = f(\text{round}(x), \text{round}(y)) f ( x , y ) = f ( round ( x ) , round ( y ))	O ( 1 ) O(1) O ( 1 )	实时系统、像素艺术
双线性插值	f ( x , y ) = a 0 + a 1 x + a 2 y + a 3 x y f(x,y) = a_0 + a_1x + a_2y + a_3xy f ( x , y ) = a 0 + a 1 x + a 2 y + a 3 x y （基于4个邻近点加权平均）	O ( n ) O(n) O ( n )	通用图像缩放（默认方案）
双三次插值	f ( x , y ) = ∑ i = 0 3 ∑ j = 0 3 a i j x i y j f(x,y) = \sum_{i=0}^3 \sum_{j=0}^3 a_{ij}x^i y^j f ( x , y ) = i = 0 ∑ 3 j = 0 ∑ 3 a ij x i y j （基于16邻近点）	O ( n 2 ) O(n^2) O ( n 2 )	高质量放大/医学影像重建

核心公式说明

最近邻插值
- 直接取最邻近像素值，数学上等价于二维脉冲函数采样
- 计算极快，但会产生锯齿（数学不连续）
双线性插值
- 在x/y方向分别线性插值，表达式展开为：
  f ( x , y )
  ( x 2 − x ) ( y 2 − y ) f 11 + ( x − x 1 ) ( y 2 − y ) f 21 + ( x 2 − x ) ( y − y 1 ) f 12 + ( x − x 1 ) ( y − y 1 ) f 22 ( x 2 − x 1 ) ( y 2 − y 1 ) f(x,y) = \frac{(x_2 - x)(y_2 - y)f_{11} + (x - x_1)(y_2 - y)f_{21} + (x_2 - x)(y - y_1)f_{12} + (x - x_1)(y - y_1)f_{22}}{(x_2 - x_1)(y_2 - y_1)}
  f
  (
  x
  ,
  y
  )
  =
  (
  x
  2
  
  −
  x
  1
  
  )
  (
  y
  2
  
  −
  y
  1
  
  )
  (
  x
  2
  
  −
  x
  )
  (
  y
  2
  
  −
  y
  )
  f
  11

双三次插值
- 基于三次多项式逼近，需满足边界导数连续条件
- 常用核函数：

W(t) = \begin{cases}

(a+2)|t|^3 - (a+3)|t|^2 + 1 & \text{for } |t| \leq 1 \

a|t|^3 - 5a|t|^2 + 8a|t| - 4a & \text{for } 1 < |t| < 2 \

0 & \text{otherwise}

\end{cases}

（通常取（通常取

（通常取 a = -0.5 $$）

复杂度对比实验

import time
import numpy as np
from skimage import transform


def benchmark_interpolation(method, scale=8.0, num_runs=10):
    # 预生成测试图像（避免重复生成影响计时）
    img = np.random.rand(512, 512)

    # 根据方法调整抗锯齿
    anti_aliasing = False if method == 'nearest' else True

    # 预热（首次运行不计时）
    transform.rescale(img, scale, order={'nearest': 0, 'bilinear': 1, 'bicubic': 3}[method],
                      anti_aliasing=anti_aliasing, anti_aliasing_sigma=0.1)

    # 正式计时
    total_time = 0.0
    for _ in range(num_runs):
        start = time.time()
        transform.rescale(img, scale,
                          order={'nearest': 0, 'bilinear': 1, 'bicubic': 3}[method],
                          anti_aliasing=anti_aliasing)
        total_time += time.time() - start
    return total_time / num_runs


print(f"最近邻耗时: {benchmark_interpolation('nearest'):.4f}s")
print(f"双线性耗时: {benchmark_interpolation('bilinear'):.4f}s")
print(f"双三次耗时: {benchmark_interpolation('bicubic'):.4f}s")

输出结果如下：

最近邻耗时: 0.0929s

双线性耗时: 0.2310s

双三次耗时: 0.7054s

2. Python插值效果对比实验

from skimage import data, transform

img = data.camera()
scale_factor = 8.0  # 放大8倍

methods = [
    ('nearest', '最近邻插值'),
    ('bilinear', '双线性插值'), 
    ('bicubic', '双三次插值')
]

plt.figure(figsize=(15,5))
for i, (method, name) in enumerate(methods):
    enlarged = transform.rescale(img, scale_factor, order={
        'nearest':0, 'bilinear':1, 'bicubic':3}[method], 
        anti_aliasing=False)
    plt.subplot(1,3,i+1)
    plt.imshow(enlarged[200:300, 200:300], cmap='gray')  # 局部放大
    plt.title(f'{name}（边缘效果）'), plt.axis('off')
plt.tight_layout()
plt.show()

实验结果：