深度学习基础线性代数本质6逆矩阵列空间与零向量
深度学习基础：线性代数本质6——逆矩阵、列空间与零向量
通过直观的线性变换视角来重新看逆矩阵，列空间，秩，零空间 的概念 线性代数在几乎所有领域中都有所体现并被广泛应用的主要原因是：可以帮助我们求解特定的方程组。
1 矩阵的用途
- 它能用来描绘对空间的操控 ，这对计算机图形学学习很重要。
- 它被广泛应用的主要原因是它能帮助我们求解特定的方程组
2 利用矩阵求解方程组
矩阵A代表一个线性变换，所以求解意味着去寻找一个向量,使得变换后与重合。
① 当矩阵A行列式不为零
此时空间并未被挤压为零面积，在这种情况下，有且仅有一个向量（变换后）与v重合，并且可以通过逆向变换
找到这个向量，如同倒带一样，记为，先线性变换，再做逆变换，核心在于：等于一个“什么都不做”的矩阵。这个“什么都不做”的变换被称为“恒等变换”。
它保持
i 和 j 不变，所以列为（1，0）和（0，1）
一旦找到了 ，就能在两遍同乘A的逆矩阵来求解向量方程
得到x，此时x x是唯一解
② 当矩阵A行列式为零
变换将空间压缩到更低的维度上。此时不存在逆变换：不可以将低纬度空间拉伸到一个特定的高维空间 (类似不可以将一条线"解压缩"为一个平面)
但即便不存在逆变换，解仍可能存在： （二维空间）一个变换将空间压缩到一条直线上
v如果恰好在这个直线上时，有解；如果v不在这个直线上，则无解
3 秩 rank
秩代表变换后空间的维数 。
- 当变换后向量在一条直线上—— 结果为一维的：称这个变换的秩为1
- 当变换后向量在一个平面上—— 结果为二维的：称这个变换的秩为2 比如说，对于2x2的矩阵那么它的秩最大为2，当秩数小于向量的维数，那么可以说它在变换后被压缩了 如果变换后的向量在一条直线上，那么我们称这个变换为的秩为1，如果变换后的向量在一个平面上，那么我们称这个变换为秩为2
4 列空间（没太理解）
不管是一条直线，一个平面还是三维空间等，所有可能的变换结果的集合被称为”列空间”。 列空间就是矩阵的列所张成的空间 所以更精确秩的定义就是列空间的维数 当秩达到最大时，意味着秩与列数相等 （也称为满秩 ） ps:零向量一定包含在列空间中，因为线性变化必须保持原点位置不变，对于一个满秩变换来说，唯一能在变换后落在原点的就是零向量本身。对于非满秩变换，在变换后可能会有一些里点落在原点中。
5 零空间（没太理解）
变换后的向量 落在零向量上的向量的集合 零向量一定在列空间中（因为线性变换必须保持原点位置不变）
- 对于满秩(Full rank)变换来说，唯一能在变换后落在原点的就是零向量本身
- 对于非满秩的变换，空间被压缩到一个更低的维度上，也就是说：会有一系列向量在变换后成为零向量：
- 如果一个二维线性变换将空间压缩到一条线，那么沿着某个不同方向直线上的所有向量被压缩到原点
- 如果一个三维线性变换将空间压缩到一个平面，会有一整条线上的向量在变换后落在原点 如果一个三位线性变换将空间压缩到一条直线，有一整个平面上的向量在变换后落在原点 变换后落在原点的向量集合被称为矩阵的"零空间"(Null space)或"核"(Kernel)：变换后一些向量落在了零向量上，而零空间就是这些向量所构成的空间
这个现象可以用来解释为什么系数矩阵满秩的齐次方程只有0解，而不满秩的其次方程有一个基础解系
- 满秩时：变换后的空间维数不变，则唯一能在变换后落在原点的就是零向量本身，即只有0解
- 不满秩时：变换后的空间维度减小，会有一系列向量在变换后成为零向量，即有一个基础解析
6 总结
从几何角度求解线性方程组：从逆矩阵，列空间，零空间 线性方程组：
① 如果该变换有逆变换
可以使用这个逆变换进行求解方程组
② 如果逆变换不存在
- 列空间的概念让我们清楚什么时候存在解
一个变换将空间压缩到一条直线上，v如果恰好在这个直线上时，有解；
如果v不在这个直线上，则无解