神聖的綫性代數速成例題3.-矩陣列數的極限矩陣範數行列式的計算

2025-03-16 约 558 字预计阅读 2 分钟

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神聖的綫性代數速成例題3. 矩陣列數的極限、矩陣範數、行列式的計算

矩陣列數的極限 ：設矩陣序列 ${A_k}$ ，其中 $A_k=(a_{ij}^{(k)})$ ，若對每個都有 $\lim_{k\rightarrow\infty}a_{ij}^{(k)} = a_{ij}$ ，則稱矩陣序列 ${A_k}$ 收斂於矩陣 $A=(a_{ij})$ ，記作 $\lim_{k\rightarrow\infty}A_k = A$ 。
矩陣範數 ：常用的矩陣範數有：行和範數 $|A|{\infty}=\max{1\leq i\leq n}\sum_{j = 1}^{n}|a_{ij}|$ ，即矩陣每行元素絕對值之和的最大值。列和範數 $|A|{1}=\max{1\leq j\leq n}\sum_{i = 1}^{n}|a_{ij}|$
行列式的計算 ：對於低階行列式可直接利用定義或行（列）展開定理計算。對於高階行列式，常利用行列式的性質將其化為上三角或下三角行列式，上（下）三角行列式的值等於主對角線元素之積。

例題解析 ：

1.已知矩陣序列 $https://latex.csdn.net/eq?A_k%3D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%7D%261+%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%5E2%7D%5C%5C2-%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%7D%26%5Cfrac%7B3%7D%7Bk%5E3%7D%5Cend%7Bpmatrix%7D$ ，求 $\lim_{k\rightarrow\infty}A_k$ 。

解： $https://latex.csdn.net/eq?%5Clim_%7Bk%5Crightarrow%5Cinfty%7Da_%7B11%7D%5E%7B%28k%29%7D%3D%5Clim_%7Bk%5Crightarrow%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%7D%3D0$ ， $https://latex.csdn.net/eq?%5Clim_%7Bk%5Crightarrow%5Cinfty%7Da_%7B12%7D%5E%7B%28k%29%7D%3D%5Clim_%7Bk%5Crightarrow%5Cinfty%7D%281+%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%5E2%7D%29%20%3D%201$ ， $https://latex.csdn.net/eq?%5Clim_%7Bk%5Crightarrow%5Cinfty%7Da_%7B21%7D%5E%7B%28k%29%7D%3D%5Clim_%7Bk%5Crightarrow%5Cinfty%7D%282-%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%7D%29%20%3D%202$ ， $https://latex.csdn.net/eq?%5Clim_%7Bk%5Crightarrow%5Cinfty%7Da_%7B22%7D%5E%7B%28k%29%7D%3D%5Clim_%7Bk%5Crightarrow%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B3%7D%7Bk%5E3%7D%3D0$ 。

所以 $\lim_{k\rightarrow\infty}A_k=\begin{pmatrix}0&1\2&0\end{pmatrix}$ 。

2.求矩陣 $A=\begin{pmatrix}1& - 2&3\4&5& - 6\7& - 8&9\end{pmatrix}$ 的行和範數 $|A|_{\infty}$ 。

解：第 1 行元素絕對值之和為；第 2 行元素絕對值之和為；第 3 行元素絕對值之和為。

所以 $|A|_{\infty}=24$ 。

3.求矩陣 $A=\begin{pmatrix}1& - 2&3\4&5& - 6\7& - 8&9\end{pmatrix}$ 的列和範數 $|A|_{1}$ 。

解：第 1 列元素絕對值之和為；第 2 列元素絕對值之和為；第 3 列元素絕對值之和為。

所以 $|A|_{1}=18$ 。

4.求矩陣 $A=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix}$ 的 2 - 範數 $|A|_{2}$ 。

解：先求 $A^TA=\begin{pmatrix}1&3\2&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 + 9&2+12\2 + 12&4 + 16\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10&14\14&20\end{pmatrix}$ 。

再求的特徵值， $\vert\lambda I - A^TA\vert=\begin{vmatrix}\lambda - 10& - 14\ - 14&\lambda - 20\end{vmatrix}=(\lambda - 10)(\lambda - 20)-196=\lambda^2 - 30\lambda + 200 - 196=\lambda^2 - 30\lambda + 4$ 。

由求根公式 $https://latex.csdn.net/eq?%5Clambda%3D%5Cfrac%7B30%5Cpm%5Csqrt%7B900%20-%2016%7D%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B30%5Cpm%5Csqrt%7B884%7D%7D%7B2%7D%3D15%5Cpm%5Csqrt%7B221%7D$ 。

最大特徵值 $\lambda_{max}=15+\sqrt{221}$ ，所以 $|A|_{2}=\sqrt{15+\sqrt{221}}$ 。

5.計算行列式 $\begin{vmatrix}1&2&3&4\2&3&4&1\3&4&1&2\4&1&2&3\end{vmatrix}$ 。

解：將第 2、3、4 行都加到第 1 行，得 $\begin{vmatrix}10&10&10&10\2&3&4&1\3&4&1&2\4&1&2&3\end{vmatrix}=10\begin{vmatrix}1&1&1&1\2&3&4&1\3&4&1&2\4&1&2&3\end{vmatrix}$ 。

再將第 1 行乘以加到第 2 行，乘以加到第 3 行，乘以加到第 4 行，得 $10\begin{vmatrix}1&1&1&1\0&1&2& - 1\0&1& - 2& - 1\0& - 3& - 2& - 1\end{vmatrix}$ 。

繼續通過行運算化為上三角行列式，計算可得值為。

6.已知矩陣序列 $https://latex.csdn.net/eq?A_k%3D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%5E2%7D%26%5Cfrac%7B2%7D%7Bk%5E3%7D%5C%5C%20%5Cfrac%7B3%7D%7Bk%7D%26%5Cfrac%7B4%7D%7Bk%5E4%7D%5Cend%7Bpmatrix%7D$ ，判斷其是否收斂。

解： $https://latex.csdn.net/eq?%5Clim_%7Bk%5Crightarrow%5Cinfty%7Da_%7B11%7D%5E%7B%28k%29%7D%3D%5Clim_%7Bk%5Crightarrow%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%5E2%7D%3D0$ ， $https://latex.csdn.net/eq?%5Clim_%7Bk%5Crightarrow%5Cinfty%7Da_%7B12%7D%5E%7B%28k%29%7D%3D%5Clim_%7Bk%5Crightarrow%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B2%7D%7Bk%5E3%7D%3D0$ ， $https://latex.csdn.net/eq?%5Clim_%7Bk%5Crightarrow%5Cinfty%7Da_%7B21%7D%5E%7B%28k%29%7D%3D%5Clim_%7Bk%5Crightarrow%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B3%7D%7Bk%7D%3D0$ ， $https://latex.csdn.net/eq?%5Clim_%7Bk%5Crightarrow%5Cinfty%7Da_%7B22%7D%5E%7B%28k%29%7D%3D%5Clim_%7Bk%5Crightarrow%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B4%7D%7Bk%5E4%7D%3D0$ 。