神聖的綫性代數速成例題5.-矩陣運算的定義轉置的性質方陣多項式的概念

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2025-03-16 约 293 字预计阅读 1 分钟

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神聖的綫性代數速成例題5. 矩陣運算的定義、轉置的性質、方陣多項式的概念

矩陣運算的定義（補充） ：矩陣乘法：如前所述，設 $A=(a_{ij})$ 是 $m\times s$ 矩陣， $B=(b_{ij})$ 是 $s\times n$ 矩陣，乘積的元 $c_{ij}=\sum_{k = 1}^{s}a_{ik}b_{kj}$ ，是 $m\times n$
轉置的性質 ：若是矩陣，則。，其中和是同型矩陣。，為數。，其中是 $m\times s$ 矩陣，是 $s\times n$ 矩陣。
方陣多項式的概念 ：設是階方陣， $f(x)=a_mx^m+\cdots+a_1x + a_0$ 是一個多項式，則 $f(A)=a_mA^m+\cdots+a_1A + a_0I$ ，其中是階單位矩陣。

例題解析 ：

1.已知 $A=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix}$ ，求，並驗證。

解： $A^T=\begin{pmatrix}1&3\2&4\end{pmatrix}$ 。

再求， $(A^T)^T=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix}=A$ 。

2.已知 $A=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix}$ ， $B=\begin{pmatrix}5&6\7&8\end{pmatrix}$ ，求，並驗證。

解： $A + B=\begin{pmatrix}1 + 5&2+6\3 + 7&4+8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6&8\10&12\end{pmatrix}$ ， $(A + B)^T=\begin{pmatrix}6&10\8&12\end{pmatrix}$ 。

$A^T=\begin{pmatrix}1&3\2&4\end{pmatrix}$ ， $B^T=\begin{pmatrix}5&7\6&8\end{pmatrix}$ ， $A^T + B^T=\begin{pmatrix}1+5&3 + 7\2+6&4+8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6&10\8&12\end{pmatrix}$ ，所以。

3.已知 $A=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix}$ ，，求，並驗證。

解： $kA = 3\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&6\9&12\end{pmatrix}$ ， $(kA)^T=\begin{pmatrix}3&9\6&12\end{pmatrix}$ 。

$A^T=\begin{pmatrix}1&3\2&4\end{pmatrix}$ ， $kA^T = 3\begin{pmatrix}1&3\2&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&9\6&12\end{pmatrix}$ ，所以。

4.已知 $A=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix}$ ， $B=\begin{pmatrix}5&6\7&8\end{pmatrix}$ ，求，並驗證。

解： $AB=\begin{pmatrix}1\times5+2\times7&1\times6 + 2\times8\3\times5+4\times7&3\times6+4\times8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}19&22\43&50\end{pmatrix}$ ， $(AB)^T=\begin{pmatrix}19&43\22&50\end{pmatrix}$ 。

$A^T=\begin{pmatrix}1&3\2&4\end{pmatrix}$ ， $B^T=\begin{pmatrix}5&7\6&8\end{pmatrix}$ ， $B^TA^T=\begin{pmatrix}5\times1+7\times2&5\times3+7\times4\6\times1+8\times2&6\times3+8\times4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}19&43\22&50\end{pmatrix}$ ，所以。

5.已知 $A=\begin{pmatrix}1&0\0&1\end{pmatrix}$ ，，求。

解： $A^2=\begin{pmatrix}1&0\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\0&1\end{pmatrix}$ ， $2A = 2\begin{pmatrix}1&0\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&0\0&2\end{pmatrix}$ ， $1I=\begin{pmatrix}1&0\0&1\end{pmatrix}$ 。

$f(A)=A^2 - 2A + I=\begin{pmatrix}1&0\0&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2&0\0&2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&0\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\0&0\end{pmatrix}$ 。

6.已知 $A=\begin{pmatrix}2&1\ - 1&3\end{pmatrix}$ ，，求。

解： $A^2=\begin{pmatrix}2&1\ - 1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1\ - 1&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 - 1&2 + 3\ - 2 - 3& - 1 + 9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&5\ - 5&8\end{pmatrix}$ 。

$A^3 = A^2A=\begin{pmatrix}3&5\ - 5&8\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1\ - 1&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 - 5&3 + 15\ - 10 - 8& - 5 + 24\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&18\ - 18&19\end{pmatrix}$ 。

$3A^2 = 3\begin{pmatrix}3&5\ - 5&8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9&15\ - 15&24\end{pmatrix}$ ， $2A = 2\begin{pmatrix}2&1\ - 1&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&2\ - 2&6\end{pmatrix}$ ， $-1I=\begin{pmatrix}-1&0\0&-1\end{pmatrix}$ 。

$f(A)=A^3 - 3A^2 + 2A - I=\begin{pmatrix}1&18\ - 18&19\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}9&15\ - 15&24\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4&2\ - 2&6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1&0\0&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3&5\ - 1&2\end{pmatrix}$ 。

7.已知是一個 $3\times3$ 矩陣， $A^T=\begin{pmatrix}1&2&3\4&5&6\7&8&9\end{pmatrix}$ ，求。

解：由，所以 $A=\begin{pmatrix}1&4&7\2&5&8\3&6&9\end{pmatrix}$ 。

8.已知 $A=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix}$ ， $B=\begin{pmatrix} - 1& - 2\ - 3& - 4\end{pmatrix}$ ，求。

解： $A - B=\begin{pmatrix}1-( - 1)&2-( - 2)\3-( - 3)&4-( - 4)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&4\6&8\end{pmatrix}$ ， $(A - B)^T=\begin{pmatrix}2&6\4&8\end{pmatrix}$ 。

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神聖的綫性代數速成例題5.-矩陣運算的定義轉置的性質方陣多項式的概念

神聖的綫性代數速成例題5. 矩陣運算的定義、轉置的性質、方陣多項式的概念